排序算法-堆排序-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012763126/article/details/141651471

1、堆

堆在形式上是一棵完全二叉树（假设树的高度是h，所有的叶子结点都是在第h层或h-1层）

堆分为两类，大根堆和小根堆：

大根堆：每个结点的值都大于等于其孩子结点的值；
小根堆：每个结点的值都小于等于其孩子结点的值；

堆在形式上是一棵完全二叉树，用数组存储它，不会浪费空间；

2、堆排序的过程（大根堆）

堆排序中最关键的操作是将序列调整为堆。

（1）从无序序列所确定的完全二叉树的第一个非叶子结点开始，从右到左，从下到上，对每个结点进行调整，最终得到一个大根堆。

对结点的调整方法：

1）将当前结点（假设为a）的值与它的孩子结点进行比较，如果存在大于a的孩子结点，则从中选出最大的一个与a交换。

2）当a来到下一层的时候重复 1）过程，直到a的孩子结点值都小于a为止。

（2）将根结点（假设为c）与无序序列中最后一个元素（假设为d）交换，c进入有序序列，到达最终位置。此时只有结点d可能不满足堆，对其进行调整。

（3）重复（2），直到无序序列只剩下1个时，排序结束。

3、算法实现

def sift(arr, i, n):  
    j = 2*i + 1
    temp = arr[i]
    while j < n:
        if j + 1 < n and arr[j] < arr[j+1]:
            j += 1
        if temp >= arr[j]:
            break
        arr[i] = arr[j]
        i = j
        j = 2*i+1    
    arr[i] = temp
def heap_sort(arr):
    if not arr or len(arr) <= 1:
        return
    n = len(arr)
    for i in range(n//2-1, -1, -1):  # 建堆
        sift(arr, i, n)
    for i in range(n, 1, -1):
        arr[0], arr[i-1] = arr[i-1], arr[0]  # 堆顶和最后一个无序元素交换位置
        sift(arr, 0, i-1)     # 调整堆

if __name__ == '__main__':
    a = [10, 1, 5, 2, 4, 3, 2, 1]
#     a = [5, 8, 7, 6, 3, 2, 1]
    heap_sort(a)
    print(a)

4、复杂度分析

（1）时间复杂度分析

时间复杂度为 $O(nlog_2n)$ 。

对于sift() 函数，走了当前结点到叶子结点的路径，完全二叉树的高度为 $log_2n+1$ ，即对每个结点调整的时间复杂度为 $O(log_2n)$ 。对于heap_sort()函数，第1个循环的基本操作次数约为 $O(log_2n)\times n/2$ ，第2个循环的基本操作次数约为 $O(log_2n)\times (n-1)$ ，所以整个算法的基本操作次数为 $O(log_2n)\times n/2 + O(log_2n)\times (n-1)$ ，化简后得其时间复杂度为 $nO(log_2n)$ 。