C/C++排序算法总结

于 2014-08-21 15:43:06 发布
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1. 冒泡排序（Bubble Sort）

基本思想：

在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。


void BubbleSort(int *input,int length)
{
	for(int i=0;i<length-1;i++)
		//for(int j=length-2;j>=i;j--)
		for(int j=0;j<length-i-1;j++)
		{
			if(input[j] > input[j+1])
			{
				int temp = input[j];
				input[j] = input[j+1];
				input[j+1] = temp;
			}
		}
}


冒泡排序算法的改进

对冒泡排序常见的改进方法是加入一标志性变量exchange，用于标志某一趟排序过程中是否有数据交换，如果进行某一趟排序时并没有进行数据交换，则说明数据已经按要求排列好，可立即结束排序，避免不必要的比较过程。

void BubbleSort(int *input,int length)
{
	bool flag = true;   //flag用来作为标记
	for(int i=0;i<length-1 && flag;i++)   //flag为true则退出循环
	{
		flag = false;
		//for(int j=length-2;j>=i;j--)
		for(int j=0;j<length-i-1;j++)
		{
			if(input[j] > input[j+1])
			{
				int temp = input[j];
				input[j] = input[j+1];
				input[j+1] = temp;
				flag = true;    //有数据交换则flag为true
			}
		}
	}
}

2. 简单选择排序（Simple Selection Sort）

基本思想：

在要排序的一组数中，选出最小（或者最大）的一个数与第1个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小（或者最大）的与第2个位置的数交换，依次类推，直到第n-1个元素（倒数第二个数）和第n个元素（最后一个数）比较为止。

简单选择排序的示例：

 

操作方法：

第一趟，从n 个记录中找出关键码最小的记录与第一个记录交换；

第二趟，从第二个记录开始的n-1 个记录中再选出关键码最小的记录与第二个记录交换；

以此类推.....

第i 趟，则从第i 个记录开始的n-i+1 个记录中选出关键码最小的记录与第i 个记录交换，

直到整个序列按关键码有序。

void SelectSort(int *input,int length)
{
	int min;
	for(int i=0;i<length-1;i++)
	{
		min = i;
		
		for (int j=i+1;j<=length-1;j++)
		{
			if(input[min] > input[j])
				min = j;
		}

		if (i != min)   //若min不等于i，说明找到最小值，交换。
		{
			int temp = input[i];
			input[i] = input[min];
			input[min] = temp;
		}

	}
}

3. 直接插入排序(Straight Insertion Sort)

基本思想:

将一个记录插入到已排序好的有序表中，从而得到一个新，记录数增1的有序表。即：先将序列的第1个记录看成是一个有序的子序列，然后从第2个记录逐个进行插入，直至整个序列有序为止。

要点：设立哨兵，作为临时存储和判断数组边界之用。

直接插入排序示例：



如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。

void InsertSort(int *input,int length)
{
	for (int i=1;i<length;i++) //默认第一个元素是排好序的
	{
		if (input[i] < input[i-1]) //若第i个元素大于i-1元素，直接插入。小于的话，移动有序表后插入
		{
			int temp = input[i];   //作为哨兵，作为临时存储和判断数组边界之用

			for (int j=i-1;input[j]>temp && j>=0;j--) //注意条件
			{
				input[j+1] = input[j]; //后移
			}
			input[j+1] = temp;   //插入到合适位置
		}
	}
}

 4. 希尔排序（Shell`s Sort）

直接插入排序升级版。

希尔排序是1959 年由D.L.Shell 提出来的，相对直接排序有较大的改进。希尔排序又叫缩小增量排序。

基本思想：

先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行依次直接插入排序。

操作方法：

  1. 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
  2. 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；
  3. 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

希尔排序的示例：


算法实现：

 

我们简单处理增量序列：增量序列d = {n/2 ,n/4, n/8 .....1} n为要排序数的个数

即：先将要排序的一组记录按某个增量d（n/2,n为要排序数的个数）分成若干组子序列，每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行直接插入排序，然后再用一个较小的增量（d/2）对它进行分组，在每组中再进行直接插入排序。继续不断缩小增量直至为1，最后使用直接插入排序完成排序。

希尔排序时效分析很难，关键码的比较次数与记录移动次数依赖于增量因子序列d的选取，特定情况下可以准确估算出关键码的比较次数和记录的移动次数。目前还没有人给出选取最好的增量因子序列的方法。增量因子序列可以有各种取法，有取奇数的，也有取质数的，但需要注意：增量因子中除1 外没有公因子，且最后一个增量因子必须为1。希尔排序方法是一个不稳定的排序方法。


void ShellSort(int *input,int length)
{
	int increment = length;   //增量

	do 
	{
		increment = increment/3 + 1;

        for (int i=increment;i<length;i++)
        {
			if (input[i] < input[i-increment])
			{
				int temp = input[i];
				for (int j=i-increment;input[j]>temp && j>=0;j-=increment)
					input[j+increment] = input[j];
				
				input[j+increment] = temp;
			}
        }
	} 
	while (increment>1);   //注意do-while和while的区别
}

5. 选择排序—堆排序（Heap Sort）

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

基本思想：

堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足


时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

  (b)  小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）



初始时把要排序的n个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

因此，实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆；
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。


首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
调整小顶堆的方法：

1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。

3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.

4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.

5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：



再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。

1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第个结点的子树。

2）筛选从第个结点为根的子树开始，该子树成为堆。

3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）
                              


                              

 

 算法的实现：

从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

//将以input[s]为父结点的堆调整为 大顶堆
void HeapAdjust(int *input,int s, int length)  
{  
    int temp  = input[s];  
    int j = 2*s+1;        //左孩子结点的位置

	while (j < length)
	{
		if (j+1<length && input[j]<input[j+1])
			j++;   //j为子结点中较大的记录的下标

		if (temp >= input[j])
			break;    //如果父结点本来就是最大的，则不用调整
        
		//把较大的子结点往上移动，替换它的父结点 
		input[s] = input[j];
		
		s = j;
		j = 2*s + 1;   //调整j
	}

	input[s] = temp;   //当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上
}

void HeapSort(int *input,int length)
{
	//建初始最大值堆。最后一个有孩子的节点的位置 i=(length-1)/2  
    for (int i=(length-1)/2;i>=0;--i)  
        HeapAdjust(input,i,length);
	
	for (i=length-1;i>0;--i)  
    {  
        //交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素  
        int temp = input[i]; 
		input[i] = input[0]; 
		input[0] = temp;  
        //每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整  
        HeapAdjust(input,0,i);  
	}  
}

6. 基数排序（Radix Sort）

 算法描述

基数排序（以整形为例），将整形10进制按每位拆分，然后从低位到高位依次比较各个位。主要分为两个过程：
(1)分配，先从个位开始，根据位值(0-9)分别放到0~9号桶中（比如53,个位为3，则放入3号桶中）
(2)收集，再将放置在0~9号桶中的数据按顺序放到数组中
重复(1)(2)过程，从个位到最高位（比如32位无符号整形最大数4294967296，最高位10位）
以【521 310 72 373 15 546 385 856 187 147】序列为例，具体细节如下图所示：



在数据中最高位为3，进行了三次分配、收集过程后，变成有序数组。

二. 算法分析

平均时间复杂度：O(dn)(d即表示整形的最高位数)

空间复杂度：O(10n) （10表示0~9，用于存储临时的序列） 

稳定性：稳定

三. 算法实现

/********************************************************
*函数名称：GetNumInPos
*参数说明：num 一个整形数据
*		   pos 表示要获得的整形的第pos位数据
*说明：    找到num的从低到高的第pos位的数据
*********************************************************/
int GetNumInPos(int num,int pos)
{
	int temp = 1;
	for (int i = 0; i < pos - 1; i++)
		temp *= 10;

	return (num / temp) % 10;
}

/********************************************************
*函数名称：RadixSort
*参数说明：pDataArray 无序数组；
*		   iDataNum为无序数据个数
*说明：    基数排序
*********************************************************/
#define RADIX_10 10    //整形排序
#define KEYNUM_31 10     //关键字个数，这里为整形位数
void RadixSort(int* pDataArray, int iDataNum)
{
	int *radixArrays[RADIX_10];    //分别为0~9的序列空间
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		radixArrays[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (iDataNum + 1));
		radixArrays[i][0] = 0;    //index为0处记录这组数据的个数
	}
	
	for (int pos = 1; pos <= KEYNUM_31; pos++)    //从个位开始到31位
	{
		for (int i = 0; i < iDataNum; i++)    //分配过程
		{
			int num = GetNumInPos(pDataArray[i], pos);
			int index = ++radixArrays[num][0];
			radixArrays[num][index] = pDataArray[i];
		}

		for (int i = 0, j =0; i < RADIX_10; i++)    //收集
		{
			for (int k = 1; k <= radixArrays[i][0]; k++)
				pDataArray[j++] = radixArrays[i][k];
			radixArrays[i][0] = 0;    //复位
		}
	}
}


7. 归并排序（Merge Sort）


基本思想：

归并（Merge）排序法是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。

归并排序示例：

 


合并方法：

设r[i…n]由两个有序子表r[i…m]和r[m+1…n]组成，两个子表长度分别为n-i +1、n-m。

  1. j=m+1；k=i；i=i; //置两个子表的起始下标及辅助数组的起始下标
  2. 若i>m 或j>n，转⑷ //其中一个子表已合并完，比较选取结束
  3. //选取r[i]和r[j]较小的存入辅助数组rf
    如果r[i]<r[j]，rf[k]=r[i]； i++； k++； 转⑵
    否则，rf[k]=r[j]； j++； k++； 转⑵
  4. //将尚未处理完的子表中元素存入rf
    如果i<=m，将r[i…m]存入rf[k…n] //前一子表非空
    如果j<=n ,  将r[j…n] 存入rf[k…n] //后一子表非空
  5. 合并结束。

归并的迭代算法


1 个元素的表总是有序的。所以对n 个元素的待排序列，每个元素可看成1 个有序子表。对子表两两合并生成n/2个子表，所得子表除最后一个子表长度可能为1 外，其余子表长度均为2。再进行两两合并，直到生成n 个元素按关键码有序的表。

void Merge(int arr[],int low,int mid,int high)//递归和非递归均一样 
{//将两个有序区归并为一个有序区
	int i=low,j=mid+1,k=0;
	int *temp=new int[high-low+1];
	while(i<=mid&&j<=high)
	{
		if(arr[i]<=arr[j])
			temp[k++]=arr[i++];
		else
			temp[k++]=arr[j++];
	}
	while(i<=mid) temp[k++]=arr[i++];
	while(j<=high) temp[k++]=arr[j++];
	for(i=low,k=0;i<=high;i++,k++)
		arr[i]=temp[k];	
	delete []temp;
}
 
void MergeSort(int arr[],int n)//参数和递归略不同，n代表数组中元素个数，即数组最大下标是n-1 
{
	int size=1,low,mid,high;
	while(size<=n-1)
	{
		low=0;
		while(low+size<=n-1)
		{
			mid=low+size-1;
			high=mid+size;
			if(high>n-1)//第二个序列个数不足size 
				high=n-1;		
			Merge(arr,low,mid,high);//调用归并子函数 
			 
			low=high+1;//下一次归并时第一关序列的下界 
		}
		size*=2;//范围扩大一倍 
	}
	
}



归并的递归算法 
//将有序的SR[i..m]和SR[m+1...n]归并为有序的TR[i..n]
void Merge(int SR[],int TR[],int i,int m,int n)
{
	int j;
	int k;

	for (j=m+1,k=i;i<=m && j<=n;k++)
	{
		if (SR[i] < SR[j])
			TR[k] = SR[i++];
		else
			TR[k] = SR[j++];
	}

	while(i <= m)
		TR[k++] = SR[i++];
	while(j <= n)
		TR[k++] = SR[j++];
}

void MSort(int SR[],int TR1[],int s,int t)  
{   
    int *TR2 = new int(sizeof(SR)/sizeof(int));

    if(s==t)
		TR1[s] = SR[s];  
    else  
    {   
        int m=(s+t)/2;            //把SR[s..t]平分为SR[s..m]和SR[m+1..t]  
        MSort(SR,TR2,s,m);        //递归地将SR[s..m]归并为有序的TR2[s..m]  
        MSort(SR,TR2,m+1,t);      //递归地将SR[m+1…t]归并为有序的TR2[m+1…t]  
        Merge(TR2,TR1,s,m,t);     //将TR2[s…m]和TR2[m+1…t]归并到TR1[s…t] 
    }  
}  
void MergeSort_recursive(int input[],int length)  //也可不要此函数直接调用
{ 
    MSort(input,input,0,length-1);  
}

8. 交换排序—快速排序（Quick Sort）

基本思想：

1）选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,

2）通过一趟排序讲待排序的记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的元素值均比基准元素值小。另一部分记录的 元素值比基准值大。

3）此时基准元素在其排好序后的正确位置

4）然后分别对这两部分记录用同样的方法继续进行排序，直到整个序列有序。

快速排序的示例：

（a）一趟排序的过程：

（b）排序的全过程


算法的实现：

 递归实现：

void swap(int *a, int *b)  
{  
    int tmp = *a;  
    *a = *b;  
    *b = tmp;  
}  
  
int partition(int a[], int low, int high)  
{  
    int privotKey = a[low];                             //基准元素  
    while(low < high)
	{                                   //从表的两端交替地向中间扫描  
        while(low < high  && a[high] >= privotKey) --high;  //从high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端  
        swap(&a[low], &a[high]);  
        while(low < high  && a[low] <= privotKey ) ++low;  
        swap(&a[low], &a[high]);  
    }  
    return low;  
}  
  
  
void quickSort(int a[], int low, int high)
{  
    if(low < high)
	{  
        int privotLoc = partition(a,  low,  high);  //将表一分为二  
        quickSort(a,  low,  privotLoc -1);          //递归对低子表递归排序  
        quickSort(a,   privotLoc + 1, high);        //递归对高子表递归排序  
    }  
}

分析：

快速排序是通常被认为在同数量级（O(nlog2n)）的排序方法中平均性能最好的。但若初始序列按关键码有序或基本有序时，快排序反而蜕化为冒泡排序。为改进之，通常以“三者取中法”来选取基准记录，即将排序区间的两个端点与中点三个记录关键码居中的调整为支点记录。快速排序是一个不稳定的排序方法。

 
快速排序的改进

在本改进算法中,只对长度大于k的子序列递归调用快速排序,让原序列基本有序，然后再对整个基本有序序列用插入排序算法排序。实践证明，改进后的算法时间复杂度有所降低，且当k取值为 8 左右时,改进算法的性能最佳。算法思想如下：

void print(int a[], int n){  
    for(int j= 0; j<n; j++){  
        cout<<a[j] <<"  ";  
    }  
    cout<<endl;  
}  
  
void swap(int *a, int *b)  
{  
    int tmp = *a;  
    *a = *b;  
    *b = tmp;  
}  
  
int partition(int a[], int low, int high)  
{  
    int privotKey = a[low];                 //基准元素  
    while(low < high){                   //从表的两端交替地向中间扫描  
        while(low < high  && a[high] >= privotKey) --high; //从high 所指位置向前搜索，至多到low+1 位置。将比基准元素小的交换到低端  
        swap(&a[low], &a[high]);  
        while(low < high  && a[low] <= privotKey ) ++low;  
        swap(&a[low], &a[high]);  
    }  
    print(a,10);  
    return low;  
}  
  
  
void qsort_improve(int r[ ],int low,int high, int k){  
    if( high -low > k ) { //长度大于k时递归, k为指定的数  
        int pivot = partition(r, low, high); // 调用的Partition算法保持不变  
        qsort_improve(r, low, pivot - 1,k);  
        qsort_improve(r, pivot + 1, high,k);  
    }   
}   
void quickSort(int r[], int n, int k){  
    qsort_improve(r,0,n,k);//先调用改进算法Qsort使之基本有序  
  
    //再用插入排序对基本有序序列排序  
    for(int i=1; i<=n;i ++){  
        int tmp = r[i];   
        int j=i-1;  
        while(tmp < r[j]){  
            r[j+1]=r[j]; j=j-1;   
        }  
        r[j+1] = tmp;  
    }   
  
}   
  
  
  
int main(){  
    int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};  
    cout<<"初始值：";  
    print(a,10);  
    quickSort(a,9,4);  
    cout<<"结果：";  
    print(a,10);  
  
} 

总结

各种排序的稳定性，时间复杂度和空间复杂度总结：

 我们比较时间复杂度函数的情况：



                             时间复杂度函数O(n)的增长情况


所以对n较大的排序记录。一般的选择都是时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法。


时间复杂度来说：

(1)平方阶(O(n2))排序
　　各类简单排序:直接插入、直接选择和冒泡排序；
 (2)线性对数阶(O(nlog2n))排序
　　快速排序、堆排序和归并排序；
 (3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之间的常数。

       希尔排序
(4)线性阶(O(n))排序
　　基数排序，此外还有桶、箱排序。

说明：

当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O（n）；

而快速排序则相反，当原表基本有序时，将蜕化为冒泡排序，时间复杂度提高为O（n2）；

原表是否有序，对简单选择排序、堆排序、归并排序和基数排序的时间复杂度影响不大。

 

稳定性：

排序算法的稳定性:若待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序， 这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；若经排序后，记录的相对 次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。 
     稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。另外，如果排序算法稳定，可以避免多余的比较；

稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序

不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序

 

选择排序算法准则：

每种排序算法都各有优缺点。因此，在实用时需根据不同情况适当选用，甚至可以将多种方法结合起来使用。

选择排序算法的依据

影响排序的因素有很多，平均时间复杂度低的算法并不一定就是最优的。相反，有时平均时间复杂度高的算法可能更适合某些特殊情况。同时，选择算法时还得考虑它的可读性，以利于软件的维护。一般而言，需要考虑的因素有以下四点：

1．待排序的记录数目n的大小；

2．记录本身数据量的大小，也就是记录中除关键字外的其他信息量的大小；

3．关键字的结构及其分布情况；

4．对排序稳定性的要求。

设待排序元素的个数为n.

1）当n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序序。

   快速排序：是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短；
       堆排序 ：  如果内存空间允许且要求稳定性的，

       归并排序：它有一定数量的数据移动，所以我们可能过与插入排序组合，先获得一定长度的序列，然后再合并，在效率上将有所提高。

2）  当n较大，内存空间允许，且要求稳定性 =》归并排序

3）当n较小，可采用直接插入或直接选择排序。

    直接插入排序：当元素分布有序，直接插入排序将大大减少比较次数和移动记录的次数。

    直接选择排序 ：元素分布有序，如果不要求稳定性，选择直接选择排序

5）一般不使用或不直接使用传统的冒泡排序。

6）基数排序
它是一种稳定的排序算法，但有一定的局限性：
　　1、关键字可分解。
　　2、记录的关键字位数较少，如果密集更好
　　3、如果是数字时，最好是无符号的，否则将增加相应的映射复杂度，可先将其正负分开排序。

 

参考文献


（1） http://blog.youkuaiyun.com/hguisu/article/details/7776068#t1               

（2） 《大话数据结构》

（3）  http://blog.youkuaiyun.com/prstaxy/article/details/8166360







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