最大权二分匹配—KM算法入门 && 模板

最新推荐文章于 2021-01-07 20:36:07 发布

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分类专栏：图论模板文章标签： KM算法最大权二分匹配

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/tbl_123/article/details/23867435

KM算法是一种解决最大权二分匹配问题的有效方法。通过理解可行顶标的概念，保证每条边的权值满足特定不等式。在找不到完美匹配时，通过调整顶标，使得更多边进入导出子图。初始顶标可设为lx[i]=max{ w[i][j] | j是右边的点 }，ly[i]=0。通过Hungary算法的find过程，不断寻找和调整顶标，最终找到最大权匹配。优化技巧在于使用slack数组记录边的差距，求d时只需O(N)时间，降低算法复杂度。

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初学KM算法，以下为搜寻了一下午，找到的比较通俗易懂的讲解（来源于网络）：

最大权二分匹配问题就是给二分图的每条边一个权值，选择若干不相交的边，得到的总权值最大。解决这个问题可以用KM算法。

理解KM算法需要首先理解“可行顶标”的概念。可行顶标是指关于二分图两边的每个点的一个值lx[i]或ly[j]，保证对于每条边w[i][j]都有lx[i]+ly[j]-w[i][j]>=0。如果所有满足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的边组成的导出子图中存在一个完美匹配，那么这个完美匹配肯定就是原图中的最大权匹配。理由很简单：这个匹配的权值之和恰等于所有顶标的和，由于上面的那个不等式，另外的任何匹配方案的权值和都不会大于所有顶标的和。

但问题是，对于当前的顶标的导出子图并不一定存在完美匹配。这时，可以用某种方法对顶标进行调整。调整的方法是：根据最后一次不成功的寻找交错路的DFS，取所有i被访问到而j没被访问到的边(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d，右端点的顶标增加d。经过这样的调整以后：原本在导出子图里面的边，两边的顶标都变了，不等式的等号仍然成立，仍然在导出子图里面；原本不在导出子图里面的边，它的左端点的顶标减小了，右端点的顶标没有变，而且由于d的定义，不等式仍然成立，所以他就可能进入了导出子图里。

初始时随便指定一个可行顶标，比如说lx[i]=max{ w[i][j] | j是右边的点 }，ly[i]=0。然后对每个顶点进行类似Hungary算法的find过程，如果某次find没有