CLRS 16.2贪心算法的原理

最新推荐文章于 2025-06-21 18:10:22 发布

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#算法 #贪心

本文介绍了贪心算法的基本原理，通过分析和证明，展示了贪心算法在分数背包问题中的应用。文章详细阐述了如何通过贪心策略找到0-1背包问题的最优解，并给出了具体的实现步骤和时间复杂度分析。此外，还讨论了如何解决补水问题和单位闭区间覆盖问题，以及在商品选择中的平均价值策略。整个内容深入浅出地解释了贪心算法的决策过程和有效性。

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16.2-1
此处证明的思想是假设有一个最优解，然后可以由贪心算法得到此最优解。
设 $S=\{1,2,...,n\}$ 个商品，并已经按平均价值从高到底排序，即 $\frac{v_i}{w_i}\ge \frac{v_{i+1}}{w_{i+1}}$ 。令 $A$ 是分数背包的一个最优解，并假定解里面也是按照平均价值从高到底排序。假设总重量和最优解的总价值分别是 $W,V$ 。令 $B$ 是从 $S$ 中按照贪心算法求解得的解。
1) 总重量 $W\le w_1$ ：显然装入第一个商品得到最优解；
2) 总重量 $W> w_1$ ：在 $A$ 中前几个商品加起来为 $w_1$ 重的商品（这里的几个可能是一个，也可能是多个，还可能是某一个商品的其中一部分）。令 $B=A-\{A中第一个w_1重的商品\}+\{第一个商品的w_1的重量\}$ （即将 $A$ 中的 $w_1$ 重的东西换成第一个商品的 $w_1$ 重量）。此时 $A$ 的价值 $\{第一个w_1重量的价值\}+\{背包中剩余的价值\}$ 。 $B$ 的价值是 {第一