感知机

1､感知机模型

定义：
假设输入空间是 $X⊆R^n$，输出空间是 $y=\{+1,-1\}$.输入 $x∈X$ 表示实例的特征向量，对应于输入空间的点；输出 $y∈Y$ 表示实例的类别。由输入空间到输出空间的如下函数

$$f(x)=sign(w∙x+b)$$

称为感知机。其中，$w$和$b$是感知机模型参数，$w∈R^n$叫作权值，$b∈R$叫作偏置，$w∙x$表示$w$和$x$的内积。sign是符号函数

$$sign(x) =\begin{cases}+1, & \text{x⩾0} \\-1, & \text{x<0}\end{cases}$$

感知机是二类分类的线性分类模型，属于判别模型。二类分类，所以取+1和-1二值；线性分类，所以存在超平面$S$将特征空间划分为两个部分，位于两部分的点（特征向量）分别为正、负两类。

2､感知机学习策略

感知机的策略是求误分类点到超平面$S$的总距离的最小值，因为感知机的数据集是线性可分的，所以也就是求误分类点到超平面$S$的总距离等于0的值。
点$x_0$到超平面$S$的距离：

$$\dfrac{1}{\|w\|}|w∙x_0+b|$$
其中$\|w\|$是$L_2$范数（向量元数绝对值的平方和再开方）

该公式可由$d=\dfrac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$可推理得到。

因些误分类点到超不面$S$的距离：

$$-\dfrac{1}{\|w\|}y_i(w∙x_0+b)$$

我们已经知道感知机的策略是求误分类点到超平面$S$的总距离等于0的值，所以可以忽略$\dfrac{1}{\|w\|}$，但不能忽略负号，因为损失函数是非负实值的函数。因此可以定义$sign(w∙x+b)$的损失函数为

$$L(w,b)=-\sum_{x_i∈M} y_i(w∙x_i+b)$$

3､感知机算法的原始形式

1､算法
输入：训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),∙∙∙,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i∈X=R^n，y_i∈Y=\{-1,+1\}，i=1,2,∙∙∙N$;学习率 $\eta（0<\eta⩽1)$；
输出：$w，b$；感知机模型：

$$f(x)=sign(w∙x+b)$$
（1）选取初值$w_0,b_0$，一般初值选$w_0=0,b_0=0$
（2）在训练集中选取数据$（x_i,y_i）$
（3）如果$y_i(w∙x_i+b)⩽0$
$$w←w+\eta y_ix_i$$
$$b←b+\eta y_i$$
（4）转至（2），直到训练集没有误分类点。

2､算法的收剑性

4､感知机算法的对偶形式

输入：训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),∙∙∙,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i∈X=R^n，y_i∈Y=\{-1,+1\}，i=1,2,∙∙∙N$;学习率 $\eta（0<\eta⩽1)$；
输出：$\alpha,b$；感知模型:

$$f(x)=sign(\sum_{j=1}^N\alpha_jy_jx_j∙x+b)$$ .
其中$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,∙∙∙,\alpha_N)^T$.
（1）$\alpha←0,b←0$
（2）在训练集中选取数据$（x_i,y_i）$
（3）如果
$$y_i(\sum_{j=1}^N\alpha_jy_jx_j∙x+b)⩽0$$
则更新参数
$$\alpha_i←\alpha_i+\eta$$
$$b←b+\eta y_i$$
（4）转至（2），直到训练集没有误分类数据。