状态压缩讲解

*注：本文对状态压缩的描述非正式化，比较随意，意在让人容易理解，下面开始谈谈我对状态压缩的理解。


1.为什么要采用状态压缩？
采用状态压缩的主要原因是原状态不容易表示或者状态数目过多，内存不够用。


2.用状态压缩有什么好处？
当然自然解决了上面的两个问题-----状态容易表达，至于内存，用一个数的二进制表示状态可以节省很多内存空间（当然也有使用的局限性）

3.状态压缩的难点？
状压一般是用于状压BFS和状压DP，状压的主要难点就是怎么压缩状态，然后就是位运算的使用，位运算一定要熟练。下面介绍位运算
& ---- 按位与，可以将某个数的某二进制位置为0，也可以用于取出某个二进制位
| ---- 按位或，可以将某个数的某二进制位置为1.
~ ---- 非，将一个数的所有二进制位取反
^ ---- 异或，相同为0，不同为1


本文将从几个例题出发，讲解状压的方法及原理


以下例题题意不在描述，还请先点开链接读题
例题一:
HDU 1429  胜利大逃亡(续)
一看此题，就是BFS搜索，怎么搜呢？考虑到钥匙最多只有10把，很容易想到状态压缩，将每把钥匙对应一个二进制数的一位，这样状态就可以轻松表示了
那么为什么要状态压缩？原因很简单，因为到达任意一个点（z,y）,Ignatius身上带的钥匙的种类数量都可能不同，应该是属于不同的状态.想到这点程序就不难写了
下面给出AC代码，希望先自己写，不会了再参考下

/*
author: tpbluesky
time:	2015年8月16日14:04:48   
题解:	状态压缩 
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <sstream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 22;

char mp[maxn][maxn];
int vis[maxn][maxn][1<<10], n, m , t; 
struct node
{
	int x, y, step, state; 
}st;

int dx[] = {1,-1,0,0};
int dy[] = {0,0,1,-1};

bool isok(int x,int y)
{
	if(x < 1 || y < 1 || x > n ||  y > m || mp[x][y] == '*')
		return false;
	return true;
}

int bfs()
{	
	queue<node> q;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	vis[st.x][st.y][0] = 1;
	q.push(st);
	while(!q.empty())
	{
		node tp = q.front();
		q.pop();
		if(mp[tp.x][tp.y] == '^')
			return tp.step;
		//cout<<"              "<<tp.x<<" "<<tp.y<<" "<<tp.step<<" "<<tp.state<<endl;
		for(int i = 0;i < 4;++i)
		{
			node temp;
			temp.x = tp.x + dx[i], temp.y = tp.y+dy[i], temp.step = tp.step+1, temp.state = tp.state;
			if(isok(temp.x,temp.y) && !vis[temp.x][temp.y][temp.state])
			{
				vis[temp.x][temp.y][temp.state] = 1;
				if(mp[temp.x][temp.y] >= 'A' && mp[temp.x][temp.y] <= 'J')
				{
					int t = mp[temp.x][temp.y] - 'A';
					if(temp.state&(1<<t))
						q.push(temp);
				}
				else if(mp[temp.x][temp.y] >= 'a' && mp[temp.x][temp.y] <= 'j')
				{
					vis[temp.x][temp.y][temp.state]= 0;
					int t = mp[temp.x][temp.y] - 'a';
					temp.state |= (1<<t);
					if(!vis[temp.x][temp.y][temp.state])
					{
						vis[temp.x][temp.y][temp.state] = 1;
						q.push(temp);
					}
				}
				else
				{
					q.push(temp);
				}
			}
		} 
	}
	return -1;
}

int main()
{
	while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&t) == 3)
	{
		for(int i = 1;i <=n;++i)
		{
			scanf("%s",mp[i]+1);
			for(int j = 1;j <= m;++j)
			{
				if(mp[i][j] == '@')
					st.x = i, st.y = j, st.state = 0;
			}
		}
		int ans = bfs();
		if(ans == -1 || ans >= t)
			printf("-1\n");	
		else
			printf("%d\n",ans);
	}
    return 0;
}

练习：
HDU 5094 --- Maze
HDU 1044 --- Collect More Jewels

例题二:

POJ 1324 Holedox Moving
刚看完题目，可能会感觉无从下手，状态是蛇所在位子的每个坐标，这种状态实在不容易表示，坐标太多，空间不够，怎么办，这时我们也很容易想到二进制表示
状态，但仍然不是很方便表示，经过观察，我们发现每个点相对前个点的相对方向其实很容易表示的，用二位二进制位正好表示四个方向，这样我们很容易从蛇头推出
每个蛇身的坐标，转移其实比较特别，直接移位就行了，不清楚的自己在纸上画画看，想到这点已经程序就不是很难写了，但是实现的时候需要一定技巧，并且能很熟练使 用位运算

下面还是给出AC代码，代码附带注释

/*
author: tpbluesky
time:   2015年8月16日21:57:40
题解:<span style="white-space:pre">	</span>状压BFS
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <sstream>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 22;

int vis[maxn][maxn][1<<14];		//标记状态 
int mp[maxn][maxn];
int n, m, k;
int lor[] = {0,1,2,3};//up,down,left,right 	此处的方向和下面数组的方向是一致的，便于操作 
int dx[] = {1,-1,0,0};
int dy[] = {0,0,1,-1};
struct node
{
	int x, y, state, step;
}st;
int pos[10][2];

bool isok(int x,int y,int orx, int ory, int s)
{
	if(x < 1 || y < 1|| x > n || y > m || mp[x][y] == 1)
		return false;
	int t = 3;
	//cout<<"       "<<s<<endl;
	for(int i = 0;i < k;++i)		//此处是还原原来状态的每个点，判断拓展的点是否是蛇身 
	{
		int p = (s>>(i*2))&t; 		//将s的第i*2+1,i*2+2移到末尾，& 011，得到这两位的数，就可以推出方向 
		if(p == 0)	orx -= 1;
		if(p == 1)	orx += 1;
		if(p == 2)  ory -= 1;
		if(p == 3)  ory += 1;
	//	cout<<"        "<<p<<" "<<orx<<" "<<ory<<endl;
		if(x == orx && y == ory)			//点重复，走到了蛇身 
			return false;
	}
	return true;
}

int bfs()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	queue<node> q;
	q.push(st);
	vis[st.x][st.y][st.state] = 1;
	int res = -1;
	while(!q.empty())
	{
		node tp = q.front();
		q.pop();
		if(tp.x == 1 && tp.y == 1){
			res = tp.step;
			break;
		}
		for(int i = 0;i < 4;++i)
		{
			node temp;
			temp.x = tp.x + dx[i], temp.y = tp.y+dy[i], temp.step = tp.step+1, temp.state = (tp.state<<2)|lor[i];  
			int t = (1<<(2*k-2))-1; temp.state &= t;	//上面的右移比较巧妙，可以自己动手模拟一下看看，此处是将temp.state高位全部置为0 
			//cout<<temp.state<<endl;
			if(isok(temp.x, temp.y, tp.x, tp.y, tp.state) && !vis[temp.x][temp.y][temp.state])
			{
				vis[temp.x][temp.y][temp.state] = 1;
				q.push(temp);
			}
		}
	}
	return res;
}

int main()
{
	int cas = 1;
	while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k) == 3)
	{
		memset(mp,0,sizeof(mp));
		if(!n && !m && !k)
			break;
		for(int i = 0;i < k;++i)
		{
			scanf("%d%d",&pos[i][0],&pos[i][1]);
			if(i == 0){
				st.x = pos[i][0], st.y = pos[i][1],st.state = 0, st.step = 0;
			}
		}
		int p;
		scanf("%d",&p);
		for(int i = 0, a, b;i < p;++i)
		{
			scanf("%d%d",&a,&b);
			mp[a][b] = 1;
		}
		for(int i = 1;i < k;++i)			//获取初始状态，不懂得可以手动模拟下 
		{
			int s = 0;
			int tx = pos[i][0]-pos[i-1][0] , ty = pos[i][1]-pos[i-1][1];
			if(tx == -1) s = (s|lor[0])<<(i*2-2); 
			if(tx == 1) s = (s|lor[1])<<(i*2-2);
			if(ty == -1)	s = (s|lor[2])<<(i*2-2);
			if(ty == 1) s = (s|lor[3])<<(i*2-2);
			st.state |= s;
		}
	//	cout<<st.state<<endl;
		printf("Case %d: %d\n",cas++,bfs());
	}
    return 0;
}

练习：
POJ 1184 --- 聪明的打字员
HDU 1043 --- Eight


看完状压BFS，状压DP待续。。。。。