基本算法学习

算法

1. 回溯算法

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1.概述

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• 该算法可以系统性的搜索问题的所有解，它在问题的解空间树中按深度优先策略从根节点出发搜索解空间树
• 该算法搜索至解空间任一节点时，先判断当前节点是否包含该问题 的解，如果肯定不包含，则跳过对以该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯，否则进入该子树继续按深度优先策略搜索。
• 要回溯到根，而且根节点的所有子树都被搜索遍才结束

2.步骤

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1. 定义问题的解空间
2. 将解空间组织成树或者图的形式
3. 遍历，并在搜索过程中剪枝函数避免无效搜索

3. 问题

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1. 有n-1种可选物品的0-1背包问题 $$解空间 = 2^n-1$$ ，时间为 $$O(n2^n)$$
2. 旅行售货员问题 $$解空间 = (n-1)!$$
3. 装载问题（将n个集装箱装到2艘船上）
4. 批处理作业调度
5. 符号三角形问题
6. n后问题

4. 避免无效搜索方法

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1. 使用约束函数在扩展节点处减去不满足约束的子树
2. 用限界函数减去得不到最优解的子树

5. 子集树与排列树

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1. 子集树： 当所给的问题从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间，通常有 $$2^n$$ 个叶节点
2. 排列树： 当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树。通产有n!个叶节点

6.总结

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• 回溯发产生的节点数m是解空间树节点总数的1.55%左右

2. 贪心算法

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1. 概述

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• 该算法总是做出在当前来看最好的选择。
• 具有贪心选择性质（整体最优解可通过局部最优的选择）和最优质结构性质（问题的最优解包含子问题的最优解）

2.

3.问题

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1. 活动安排问题
2. 背包问题（选择物品i装入背包时，可选择物品i的一部分）（O(nlog(n))）
3. 最优装在问题
4. 哈弗曼编码（O(nlog(n))） （前缀码：每个字符规定一个0，1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀）
5. 单源最短路径
6. 最小生成树（Prim算法（O(nlog(n))）， Kruskal（O(eloge)）,当e=N(n^2）时，Prim算法好，当e=o(n^2),Kruskal算法好）

3.概率算法

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1. 概述

2. 算法

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1. 数值概率算法

• 常用于数值问题求解
• 近似解，且近似解的精度随计算时间的增加而不断提高

2. 蒙特卡罗算法

• 求问题的准确解
• 能求得问题的一个解，未必是正确的
• 所用时间越多，得到正确解的概率越高

3. 拉斯维加斯算法

• 求正确的解
• 有时找不到
• 找到的概率随时间增加而增加

4. 舍伍德算法

• 总能求得问题的一个正确的解
• 不是避免算法的最坏情况行为，而是设法消除这种最坏情形行为与特定实例之间的关联性