本文介绍了使用ID3算法构建决策树的过程，包括信息增益计算、数据集划分和递归构建决策树的原理。此外，还讲解了如何用Matplotlib绘制决策树，并探讨了测试和存储分类器的方法，以预测隐形眼镜类型为例。
决策树
1. 决策树的构造
- 优点：计算复杂度不高，输出结果易于理解，对中间值的缺失不敏感，可以处理不相关特征数据
- 缺点：可能会产生过度匹配问题
- 适用数据类型：数值型（离散化）和标称型
- 本文使用 ID3 算法（信息增益）划分数据集
1.1 信息增益
- 信息(information)：如果待分类的事物可能划分在多个分类之中，则符号 x i x_i xi 的信息定义为： l ( x i ) = − l o g 2 p ( x i ) l(x_i) = -log_2p(x_i) l(xi)=−log2p(xi) 其中 p ( x i ) p(x_i) p(xi) 是选择该分类的概率
- 熵(entropy)：定义为信息的期望值，即 H = − ∑ i = 1 n p ( x i ) l o g 2 p ( x i ) H = -\sum_{i=1}^np(x_i)log_2p(x_i) H=−i=1∑np(xi)log2p(xi) 其中 n 是分类的数目
- 计算给定数据集的香农熵：增加类别数，熵也相应地增加
'''计算给定数据集的香农熵'''
from math import log
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntries = len(dataSet) # 实例总数
labelCounts = {} # 初始化类别-次数字典
for featVec in dataSet: # 遍历实例，得到每个类别的数量
currentLabel = featVec[-1] # 得到当前类别
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 判断类别是否已存在
labelCounts[currentLabel] = 0 # 类别不存在，添加到字典中
labelCounts[currentLabel] += 1 # 该类别的数量+1
shannonEnt = 0.0 # 初始化香农熵
for key in labelCounts: # 遍历所有类别
prob = float(labelCounts[key]) / numEntries # 计算类别的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 计算香农熵
return shannonEnt
[IN]: test = [[1, 1, 'yes'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
[IN]: calcShannonEnt(test)
[OUT]: 0.9709505944546686
[IN]: test2 = [[1, 1, 'maybe'], [1, 1, 'yes'], [1, 0, 'no'], [0, 1, 'no'], [0, 1, 'no']]
[IN]: calcShannonEnt(test2)
[OUT]: 1.3709505944546687
1.2 划分数据集
- 按照给定特征划分数据集，输出为符合特征要求的数据集（去掉了给定的特征列）：
'''按照给定特征划分数据集'''
def splitDataSet(dataSet, axis, value): # 参数分别为：待划分的数据集，划分数据集的特征，需返回的特征的值
retDataSet = [] # 声明新的列表对象
for featVec in dataSet: # 遍历实例
if featVec[axis] == value: # 抽取符合特征的数据
reducedFeatVec = featVec[:axis] # 提取去除 axis 特征的剩余数据
reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reducedFeatVec) # 添加至结果中
return retDataSet
[IN]: splitDataSet(test, 0, 1)
[OUT]: [[1, 'yes'], [1, 'yes'], [0, 'no']]
[IN]: splitDataSet(test, 0, 0)
[OUT]: [[1, 'no'], [1, 'no']]
- 选择最好的数据集划分方式：遍历特征计算信息增益，然后进行比较，取信息增益最大的特征
'''选择最好的数据集划分方式'''
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet): # 输入数据为相同长度的列表组成的列表，每个实例的最后一个元素为当前实例的类别标签
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 # 特征个数
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 原数据集香农熵
bestInfoGain = 0.0 # 最大增益初始化
bestFeature = -1 # 最佳特征初始化
for i in range(numFeatures): # 遍历所有特征
featList = [example[i] for example in dataSet] # 建立当前特征值的列表
uniqueVals = set(featList) # 使用集合得到当前特征列表中的唯一元素值
newEntropy = 0.0 # 划分后的新熵值
for value in uniqueVals: # 遍历当前特征的所有可能取值
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value) # 得到当前特征，当前取值的划分结果
prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet)) # 计算当前特征，当前取值的发生概率
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet) # 划分结果熵值×概率，然后累加得到新熵值
infoGain = baseEntropy - newEntropy # 计算信息增益
if (infoGain > bestInfoGain): # 当前特征信息增益大于最大增益，则替换之，返回当前特征为最佳特征
bestInfoGain = infoGain
bestFeature = i
return bestFeature
[IN]: chooseBestFeatureToSplit(test)
[OUT]: 0
1.3 递归构建决策树
- 构建决策树的原理：对于原始数据集，基于最好的属性值划分数据集。第一次划分之后，数据将被向下传递到树分支的下一个节点，在该节点上再次划分数据。递归结束的条件是：程序遍历完所有划分数据集的属性，或者每个分支下的所有实例都具有相同的分类，此时我们得到了所有的叶子节点，任何到达叶子节点的数据必然属于叶子节点的分类。
- 如果数据集已经处理了所有的属性，但是类标签依然不是唯一的，此时我们需要决定如何定义该子节点，一般情况下采用多数表决的方式
- 多数表决函数代码：
'''多数表决'''
from collections import Counter
def majorityCnt(classList):
class_count = Counter(classList).most_common(1)
return class_count[0][0]
- 创建树：
'''创建树'''
def createTree(dataSet, labels): # 输入参数为数据集和标签列表
classList = [example[-1] for example in dataSet] # 得到类别列表
if classList.count(classList[0]) == len(classList): # 如果类别完全相同则停止继续划分
return classList[0]
if len(dataSet[0]) == 1: # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的类别
return majorityCnt(classList)
bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet) # 得到最佳划分特征
bestFeatLabel = labels[bestFeat] # 最佳划分特征对应的标签
myTree = {bestFeatLabel:{}} # 使用字典存储树的信息
del(labels[bestFeat]) # 释放内存
featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet] # 最佳划分特征的所有数据值
uniqueVals = set(featValues) # 最佳划分特征的所有可取值
for value in uniqueVals: # 遍历最佳划分特征的所有可取值
subLabels = labels[:] # 复制类标签，避免改变原始列表内容
# 递归调用函数，返回值插入到字典变量中
myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
return myTree # 返回值会嵌套很多代表叶子节点信息的字典数据
[IN]: labels = ['no surfacing', 'flippers']
[IN]: createTree(test, labels)
[OUT]: {'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers': {0: 'no', 1: 'yes'}}}}
2. 使用 Matplotlib 注解绘制树形图
- 使用文本注解绘制树节点：
'''使用文本注解绘制树节点'''
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.constrained_layout.use'] = True # 自动调整位置
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 显示中文
decisionNode = dict(boxstyle='sawtooth', fc='0.8') # 决策节点格式
leafNode = dict(boxstyle='round4', fc='0.8') # 叶节点格式
arrow_args = dict(arrowstyle='<-') # 箭头格式
# 绘制箭头函数及文本框函数，供 createPlot 调用
def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):
createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt, xycoords='axes fraction', xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',
va='center', ha='center', bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args)
# 绘制函数
def createPlot():
fig = plt.figure(1, facecolor='white') # 新建画布
fig.clf() # 清除画布
createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False) # frameon 设置为 False, 避免叠加图层覆盖
plotNode('决策节点', (0.5, 0.1), (0.1, 0.5), decisionNode) # 绘制决策节点
plotNode('叶节点', (0.8, 0.1), (0.3, 0.8), leafNode) # 绘制叶节点
plt.show()
2. 获取叶节点的数目和树的层数
'''获取叶节点的数目和树的层数'''
def getNumLeafs(myTree):
numLeafs = 0 # 叶节点数初始化
firstStr = list(myTree.keys())[0] # 标签
secondDict = myTree[firstStr] # 决策节点
for key in secondDict.keys():
if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict': # 测试节点的数据类型是否为字典
numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key]) # 是字典的话，当前节点不是叶节点，继续遍历
else:
numLeafs += 1 # 当前节点为叶节点，叶节点树 +1
return numLeafs
def getTreeDepth(myTree):
maxDepth = 0
firstStr = list(myTree.keys())[0] # 标签
secondDict = myTree[firstStr] # 决策节点
for key in secondDict.keys():
if type(secondDict[key]).__name__== 'dict': # 测试节点的数据类型是否为字典
thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key]) # 计算当前节点往后的深度
else:
thisDepth = 1 # 当前节点为叶节点，深度为 1
if thisDepth > maxDepth: # 取深度最大的作为树的层数
maxDepth = thisDepth
return maxDepth
- 绘制决策树
'''plotTree 函数'''
def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString): # 在父子节点间填充文本信息
xMid = (parentPt[0] - cntrPt[0]) / 2.0 + cntrPt[0]
yMid = (parentPt[1] - cntrPt[1]) / 2.0 + cntrPt[1]
createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString)
# 绘制节点函数，递归调用
def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):
numLeafs = getNumLeafs(myTree) # 计算树的宽和高
depth = getTreeDepth(myTree)
firstStr = list(myTree.keys())[0]
# xOff 为当前 x 位置，对于 n 个叶节点的树，其绘制的 x 位置应为 (n + 1)/2/n
cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs)) / 2.0 / plotTree.totalW, plotTree.yOff)
plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt) # 在父子节点间填充文本信息
plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode) # 绘制箭头及文本框（决策节点）
seconddict = myTree[firstStr] # 子树
plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0 / plotTree.totalD # 将当前 y 位置减去一层的长度
for key in seconddict.keys(): # 遍历子树节点
if type(seconddict[key]).__name__ == 'dict': # 子树节点还是决策节点的话，递归调用
plotTree(seconddict[key], cntrPt, str(key))
else:
plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0 / plotTree.totalW # 子树节点为叶节点的话，绘制箭头及文本框（叶节点）
plotNode(seconddict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)
plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key)) # # 在父子节点间填充文本信息
plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0 / plotTree.totalD
# 主函数
def createPlot(inTree):
fig = plt.figure(1, facecolor='white')
fig.clf()
axprops = dict(xticks=[], yticks=[])
createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)
# 定义 plotTree 的全局变量
plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree)) # 总宽度
plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree)) # 总深度
plotTree.xOff = -0.5 / plotTree.totalW # 初始 x 坐标
plotTree.yOff = 1.0 # 初始 y 坐标
plotTree(inTree, (0.5, 1.0), '')
plt.show()
3. 测试和存储分类器
3.1 测试算法：使用决策树执行分类
'''使用决策树的分类函数'''
def classify(inputTree, featLabels, testVec):
firstStr = list(inputTree.keys())[0] # 首个标签
secondDict = inputTree[firstStr] # 子树
featIndex = featLabels.index(firstStr) # 将标签字符串转换为索引，从而找到特征在数据集中的位置
for key in secondDict.keys(): # 遍历子树
if testVec[featIndex] == key: # 比较测试向量的该特征值和树节点的值，相同的话判断是否到达叶节点
if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict': # 未到达叶节点，递归调用函数
classLabel = classify(secondDict[key], featLabels, testVec)
else: # 到达叶节点，返回当前节点的分类标签
classLabel = secondDict[key]
return classLabel
[IN]: listOfTrees = [{'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers': {0: 'no', 1: 'yes'}}}},
{'no surfacing': {0: 'no', 1: {'flippers': {0: {'head':{0: 'no', 1: 'yes'}}, 1: 'no'}}}}]
[IN]: labels = ['no surfacing', 'flippers']
[IN]: classify(listOfTrees[0], labels, [1,0])
[OUT]: 'no'
[IN]: classify(listOfTrees[0], labels, [1,1])
[OUT]: 'yes'
3.2 使用算法：决策树的存储
'''使用 pickle 模块存储/载入决策树'''
def storeTree(inputTree, filename):
import pickle
with open(filename, 'wb') as f:
pickle.dump(inputTree, f)
def grabTree(filename):
import pickle
with open(filename, 'rb') as f:
tree = pickle.load(f)
return tree
4. 实例：使用决策树预测隐形眼镜类型
import pandas as pd
data = pd.read_csv('Ch03/lenses.txt', sep='\t', header=None)
featMat = data.values.tolist()
lenselabels = ['age', 'prescript', 'astigmatic', 'tearRate', 'class']
lenseTree = createTree(featMat, lenselabels)
[IN]: lenseTree
[OUT]: {'tearRate': {'normal': {'astigmatic': {'yes': {'prescript': {'myope': 'hard',
'hyper': {'age': {'young': 'hard',
'pre': 'no lenses',
'presbyopic': 'no lenses'}}}},
'no': {'age': {'young': 'soft',
'pre': 'soft',
'presbyopic': {'prescript': {'myope': 'no lenses', 'hyper': 'soft'}}}}}},
'reduced': 'no lenses'}}
createPlot(lenseTree)
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