hdu2502&杭电oj_2502(组合数)

Problem Description

当寒月还在读大一的时候，他在一本武林秘籍中（据后来考证，估计是计算机基础，狂汗-ing），发现了神奇的二进制数。
如果一个正整数m表示成二进制，它的位数为n（不包含前导0），寒月称它为一个n二进制数。所有的n二进制数中，1的总个数被称为n对应的月之数。

例如，3二进制数总共有4个，分别是4（100）、5（101）、6（110）、7（111），他们中1的个数一共是1＋2＋2＋3=8，所以3对应的月之数就是8。

Input

给你一个整数T，表示输入数据的组数，接下来有T行，每行包含一个正整数 n（1<=n<=20）。

 

Output

对于每个n ，在一行内输出n对应的月之数。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2502

分析题目：

思路一：

n位2进制数范围是2^(n-1)~2^n-1共有2^(n-1)个数，这些数的第一位肯定是1，若n位数中为2个1则后n-1位有1位的值是1，共有C(1,n-1)种选择，1的个数为1*C(1,n-1)；若n位数中为3个1则后n-1位有2位的值是1，共有C(2,n-1)种选择，1的个数为2*C(1,n-1)；若n位数中为i个1则后n-1位有i位的值是1，共有C(i,n-1)种选择，1的个数为i*C(1,n-1)。

所以n位数1的个数为2^(n-1)+1*C(1,n-1)+2*C(2,n-1)+.....+i*C(i,n-1)+(n-1)*C(n-1,n-1);其中C(i,n-1)表示从n-1位数中取i个数组合。

思路二：

n位二进制数一共有2^(n-1)个数，然后举两个例子就可以解了：
输入4，则一共有如下8个4位二进制数:
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
第一列有2^(n-1)个1，以后每列都有2^(n-2)个1，然后一共有s=2^(n-1)+(n-1)2^(n-2)个1

思路一源代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
long long ff(int i,int n){//——求C(i,n)
    long long p,q,m,j;//注意long long
    p=q=1;
    for(j=1,m=n;j<=i;m--,j++){
        p*=m;
        q*=j;
    }
    return p/q;
}
int main()
{
    int t,n;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;  //——2^(n-1)~2^n这些数中1的个数为:
        long long sum=0;//——2^(n-1)+C(1,n-1)+2*C(2,n-1)+...+(n-1)*C(n-1,n-1)
        if(n==1) sum=1;
        if(n==2) sum=3;
        if(n>=3)
        for(int i=1;i<n;i++){
            sum+=i*ff(i,n-1);
        }
        if(n>=3)
            cout<<(long long) (pow(2,n-1)+0.5)+sum<<endl;
        else cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}

思路二源代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;   //2^(n-1)~2^n这些数中1的个数为:
        cout<<(int) (pow(2,n-1)+0.5)+(int) (pow(2,n-2)+0.5)*(n-1)<<endl;//控制整数的强转精度pow(n,i)返回为double
    }
    return 0;
}