三门问题的误区

三门问题（MontyHall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

假设三扇门分别编号A，B，C。

既然是随机的，假设刚开始参赛者选择的是门A，主持人打开的是门B，题目转换为参赛者是继续坚持门A还是选择门C。

关于三门问题有的人认为是C后面有车的概率是1/2，有的人认为是2/3。这其实存在一个误区。

这道题之所以会产生争议在于题目没有说明主持人知道B门后面没有汽车，还是主持人不知道门B后面没有汽车。这两种情况下概率不一样。

情况1：主持人知道B门后面没有汽车，门C后面有汽车的概率为2/3；

情况2：主持人主持人不知道门B后面没有汽车，门C后面有车的概率为1/2；

下面给出详细解法：

设事件X：汽车在门C后面；事件Y：门B后面没有汽车

在门B后面没有汽车的情况下门C后面有车的概率P(X|Y)= P(XY)/P(Y);

情况1：

P(XY)=2/3;(只要汽车不在A后面，就一定在C后面，且门B后面没有汽车1-1/3=2/3)

P(Y)=1;(B后面一定没有汽车)

P(X|Y)= P(XY)/P(Y)=2/3;

情况2：

P(XY)=1/3;

P(Y)=2/3;

P(X|Y)= P(XY)/P(Y)=1/2;

很多人没有把两种情况分开讨论，所以有的人认为是C后面有车的概率是1/2，有的人认为是2/3。其实只是两种不同情况而已