基于KDTree的KNN实现

1. KNN算法

K Nearest Neighbors 可用于分类问题，就是新样本和训练集的所有样本作对比，找出与之最接近的K个样本，统计最近的k个训练样本中所属类别计数最多的那个类，就是新样本的类。

该算法简单直观，但是每次查询都需要和所有样本进行比较，代价很大。一种优化方法是基于KD树的实现。

2. KD树

KD树是一个二叉树，表示对K维空间的一个划分，它的功能就是在高维空间下进行一个快速的最近邻查询。利用KD树可省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的计算量。

2.1 KD树构建

构建KD树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将K维空间进行划分，构成一系列的K维超矩形区域，KD树的每一个节点对应于一个K维超矩形区域。

通常依次选择坐标轴对空间进行切分，选择训练样本在选定坐标轴上的中位数为切分点，这样得到的KD树是平衡的。但是，平衡的KD树搜索时的效率未必是最优的。也有选择 熵最大的特征值进行切分，个人感觉这里更有理由，因为熵越大，说明样本在这一维度上信息越大，切分后效果会越好。

2.2 KD树搜索

记待查询点的样本点为Q，样本点为xi，样本维度为d，即xi = {a1, a2, ..., ad}

1. 首先从根节点开始递归往下找到包含Q的叶子节点，每一层都是找对应的xi；
   
2. 将这个叶子节点认为是当前的“近似最近点”；
   
3. 递归向上回退，如果以Q圆心，以“近似最近点”为半径的球与根节点的另一半子区域边界相交，则说明另一半子区域中存在与Q更近的点，则进入另一个子区域中查找该点并且更新”近似最近点“;
   
4. 重复3的步骤，直到另一子区域与球体不相交或者退回根节点;
   
5. 最后更新的”近似最近点“与q真正的