第13 周项目用递归法求a!+b!+c!的和

本文介绍了一个简单的C++程序,该程序使用递归方法计算三个整数的阶乘之和。用户输入三个整数后,程序将分别计算这三个整数的阶乘并输出总和。

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/*

*Copyright (c)2013,烟台大学计算机学院

*All rights reserved.

*文件名称:test.cpp

*作者:孙玲倩

*完成日期:2013年11月19日

*版本号:v1.0

*问题描述:用递归方法求a!+b!+c!

*/

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int fac(int);
    int a,b,c,sum=0;
    cout<<"请输入3个数,然后按回车键"<<endl;
    cin>>a>>b>>c;
    sum=sum+fac(a)+fac(b)+fac(c);
    cout<<a<<"!+"<<b<<"!+"<<c<<"!+="<<sum<<endl;
    return 0;
}
int fac(int n)
{
    int f=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    f=f*i;
    return f;
}

<think>好的,我需要帮助用户找到用C语言实现迭代递归计算特定数列第n项的代码。用户给出的数列是0,5,6,12,19,32,52...,我需要先确定这个数列的规律,然后才能编写相应的算。 首先,观察数列的每一项: - 第1项:0 - 第2项:5 - 第3项:6 - 第4项:12 - 第5项:19 - 第6项:32 - 第7项:52 尝试找出相邻项之间的关系: - 5 - 0 = 5 - 6 - 5 = 1 - 12 - 6 = 6 - 19 - 12 = 7 - 32 - 19 = 13 - 52 - 32 = 20 这些差值看起来并没有明显的规律。可能需要寻找其他模式,比如递推公式。例如,是否存在类似斐波那契数列的规律,即某一项是前几项的组合? 再观察数值: 从第3项开始,6 = 5 + 1(可能前两项的差?但不确定) 第4项12 = 6 + 6(可能前两项的?0+6=6,但实际是12,不符合) 或者可能涉及更多项的组合。比如第4项是否等于前两项之加某个数? 另一种方是考虑每项的数值是否与其他数学运算相关,例如平方、立方等,但暂时没有明显迹象。 可能需要更多的项来确认规律。用户给出的数列到第7项为止,可能不足以明确递推关系。这种情况下,可能需要假设一种可能的递推式,或者询问用户更多信息。但根据现有数据,假设一个可能的递推式: 例如,从第5项开始,19 = 12 + 7,而7可能是前面某个差值。或者,从第6项32 = 19 + 1313可能是前面差值的。不过这可能过于牵强。 另一种思路是检查数值是否与其他已知数列相关,比如查找OEIS数据库。例如,输入0,5,6,12,19,32,52进行搜索,发现是否有匹配的数列。假设这里无直接查找,需要根据现有数据推断。 假设用户提供的数列可能存在某种递推关系,比如从第4项开始,每一项是前三项的减去某个数,或者类似的组合。例如: 第4项12:5 + 6 + 0 = 11,但实际是12,可能接近。 第5项19:6 + 12 + 5 = 23,与实际19不符。 或者,另一种方式:从第3项开始,每一项等于前两项之加上某个数。例如: 第3项6 = 5 + 0 +1 → +1 第4项12 =6 +5 +1 → 12=12,符合? 第5项19=12+6 +1=19 → 19=19,符合? 第6项32=19+12 +1=32 → 32=32,符合? 第7项52=32+19 +1=52,确实符合。看起来从第3项开始,每一项等于前两项之加1。验证前面的项: 根据这个假设,递推式为a(n) = a(n-1) + a(n-2) +1,其中a(1)=0, a(2)=5。 检查是否符合已知项: - a(3)=a(2)+a(1)+1=5+0+1=6 → 正确。 - a(4)=a(3)+a(2)+1=6+5+1=12 → 正确。 - a(5)=12+6+1=19 → 正确。 - a(6)=19+12+1=32 → 正确。 - a(7)=32+19+1=52 → 正确。 看来这个递推式是正确的。因此,数列的递推公式为: a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1,其中a(1)=0,a(2)=5。 接下来,用户需要C语言的递归迭代实现。因此,需要根据这个递推式编写代码。 对于递归,需要注意基准情况:当n=1时返回0,n=2时返回5,其他情况返回递归调用前两项的加1。但递归可能会有重复计算的问题,但对于教学示例是可以接受的。 对于迭代方,可以使用循环从第3项开始逐步计算到n,保存前两项的值,每次更新当前项的值。 现在需要编写这两个函数。注意边界条件,比如n<=0的情况需要处理,但根据用户给出的数列,可能假设n是正整数。 然后,将这两个方用C语言代码实现,并给出示例。 同时,用户提供的参考引用中有递归的例子,如阶乘斐波那契数列[^1],以及二分查找的递归实现[^2],这些可以作为参考,但需要注意递推式的不同。 最后,需要验证代码是否正确,例如测试n=3返回6,n=4返回12等。 现在,将这些思考整理成结构化的回答,包含递归迭代的代码,并解释算步骤。</think>根据数列$0,5,6,12,19,32,52...$的递推规律$a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1$(其中$a(1)=0, a(2)=5$),以下是C语言的递归迭代实现: ### 递归实现 ```c #include <stdio.h> int sequence_recursive(int n) { if (n == 1) return 0; if (n == 2) return 5; return sequence_recursive(n-1) + sequence_recursive(n-2) + 1; } int main() { int n = 5; printf("Recursive: a(%d) = %d\n", n, sequence_recursive(n)); // 输出19 return 0; } ``` ### 迭代实现 ```c #include <stdio.h> int sequence_iterative(int n) { if (n == 1) return 0; if (n == 2) return 5; int a = 0, b = 5, result; for (int i = 3; i <= n; i++) { result = a + b + 1; a = b; b = result; } return result; } int main() { int n = 6; printf("Iterative: a(%d) = %d\n", n, sequence_iterative(n)); // 输出32 return 0; } ``` ### 算说明 1. **递归**: - 基准条件:$n=1$返回$0$,$n=2$返回$5$[^1] - 递归关系:$a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1$ - 时间复杂度:$O(2^n)$(存在重复计算) 2. **迭代方**: - 初始化前两项$a=0$$b=5$ - 循环从$3$到$n$,通过公式逐步计算当前项 - 时间复杂度:$O(n)$,空间效率更优 ### 验证递推关系 $$ \begin{align*} a(3) &= 5 + 0 + 1 = 6 \\ a(4) &= 6 + 5 + 1 = 12 \\ a(5) &= 12 + 6 + 1 = 19 \\ \end{align*} $$ 计算结果与数列定义完全一致
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