矩阵快速幂模

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数学问题的方法。通过定义矩阵结构和初始化过程，结合快速幂运算，实现对大规模矩阵乘法的有效计算，并提供了一个完整的C++实现示例。
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  1. #include <cstdio>   
  2. #include <cstring>   
  3. #include <cmath>   
  4. #include <algorithm>   
  5. using namespace std;  
  6. #define MAXN 12   
  7. #define M 9973   
  8. typedef struct  
  9. {  
  10.       int m[MAXN][MAXN];  
  11. }Matrix;  
  12.   
  13. Matrix a, per;  
  14. int n;  
  15.   
  16. void init()  
  17. {  
  18.      for(int i = 0; i < n; i ++)  
  19.               for(int  j = 0;j < n; j ++)  
  20.               {  
  21.                        scanf("%d", &a.m[i][j]);  
  22.                        a.m[i][j] = a.m[i][j] % M;  
  23.                        per.m[i][j] = (i==j);  
  24.               }  
  25. }  
  26.   
  27. Matrix multi(Matrix a, Matrix b)  
  28. {  
  29.      Matrix c;  
  30.      for(int i = 0; i < n; i ++)  
  31.      {  
  32.              for(int j = 0; j < n; j ++)  
  33.              {  
  34.                       c.m[i][j] = 0;  
  35.                       for(int k = 0; k < n; k ++)  
  36.                       {  
  37.                               c.m[i][j] = c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % M;  
  38.                       }  
  39.                       c.m[i][j] = c.m[i][j] % M;  
  40.              }  
  41.      }  
  42.      return c;  
  43. }  
  44.   
  45. int  power(int k)  
  46. {  
  47.       Matrix c, p, ans = per;  
  48.       p = a;  
  49.       while(k)  
  50.       {  
  51.               if(k & 1) ans = multi(ans, p);  
  52.               k = k / 2;  
  53.               p = multi(p, p);  
  54.       }  
  55.       int  sum = 0;  
  56.       for(int i = 0; i <  n; i ++)  
  57.       {  
  58.               sum = (sum + ans.m[i][i]) % M;  
  59.       }  
  60.       return sum % M;  
  61. }  
  62.   
  63. int  main()  
  64. {  
  65.      int t, k;  
  66.      scanf("%d", &t);  
  67.      for(int i = 0; i < t; i ++)  
  68.      {  
  69.              scanf("%d %d", &n, &k);  
  70.              init();  
  71.              int ans = power(k);  
  72.              printf("%d\n", ans);  
  73.      }  
  74.      return 0;  
  75. }  
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一个m×n的是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。即形如A​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​本题中认为矩阵中的元素aij​是整数。两个大小分别为m×n和n×p的矩阵AB的结果为一个大小为m×p的矩阵。将结果矩阵记作C，则cij​k1∑n​aik​bkj​(1≤i≤m, 1≤。
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讲述数论中的矩阵快速幂，用来优化递推或动态规划的复杂度，能大大增加程序在一定时间内的处理能力，其中还包含矩阵以及快速幂实现的相关数学内容
矩阵乘方
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前置知识 矩阵 矩阵是一个n×mn \times mn×m的阵列，下面是一个3×33\times 33×3的矩阵： [100010001]\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​ 矩阵乘法 若矩阵A的大小为n×mn\times mn×m ，另一矩阵B的大小为m×pm\times pm×p，则两个矩阵可以做乘法，得到的矩阵C大小为n∗pn*pn∗p。具体的乘法规
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计算这样的递推次数很多的式子，我们需要一个更简化更快捷的计算方式，也就是矩阵快速幂。我们只需要构造最小限度能解决问题的矩阵就好，无论是矩阵初始值还是转移矩阵，所以还是需要具体问题具体分析地来构造矩阵。的矩阵，其实列向量还是行向量都可以，只要转移矩阵也是对应的即可）那么根据转移矩阵表现出来的与原数列的关系，我们可以这样来看。的矩阵初始值浪费了计算空间，所以构造其他形式的初始矩阵。的初始矩阵的话，对应数列的递推关系是不完整的；得到的新矩阵的第一项数据即是斐波那契数列的第。把矩阵乘法展开，得到。......
AcWing 3534：矩阵幂 ← 矩阵快速幂
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1、压缩文件中包含： 中文-英文对照文档、jar包下载地址、Maven依赖、Gradle依赖、源代码下载地址。 2、使用方法： 解压最外层zip，再解压其中的zip包，双击 【index.html】 文件，即可用浏览器打开、进行查看。 3、特殊说明： （1）本文档为人性化翻译，精心制作，请放心使用； （2）只翻译了该翻译的内容，如：注释、说明、描述、用法讲解 等； （3）不该翻译的内容保持原样，如：类名、方法名、包名、类型、关键字、代码 等。 4、温馨提示： （1）为了防止解压后路径太长导致浏览器无法打开，推荐在解压时选择“解压到当前文件夹”（放心，自带文件夹，文件不会散落一地）； （2）有时，一套Java组件会有多个jar，所以在下载前，请仔细阅读本篇描述，以确保这就是你需要的文件。 5、本文件关键字： jar中文-英文对照文档.zip,java,jar包,Maven,第三方jar包,组件,开源组件,第三方组件,Gradle,中文API文档,手册,开发手册,使用手册,参考手册。
Source code for common plots in various languages_libraries_
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### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法，用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板： #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数： - `matrix_multiply`：完成两个矩阵之间的乘法操作，并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`：通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++，也可以提供类似的实现方式： ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能： - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列，则可以通过如下构造矩阵来进行计算： \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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