逻辑回归疑惑y=-(w0+w1*x1)/w2

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5.1 基于Logistic回归和sigmoid函数的分类

实现Logistic回归分类器：在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有的结果值相加，总和带入sigmoid函数，其结果大于0.5分为第0类，结果小于0.5分为第0类。

sigmoid函数公式：

Figure 5-1: sigmoid函数公式

 

Figure 5-2: sigmoid曲线

sigmoid函数具有很好的性质，如其导数可以用其本身表示等等。

5.2 基于最优化方法的最佳回归系数确定

sigmoid函数输入z:

其可以写成z=w.T*x，向量x为分类器的输入数据， w为训练器寻找的最佳参数。

梯度上升法：

思想：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。

函数f(x,y)的梯度：

沿x的方向移动，沿y的方向移动，最后能够到达最优点，但是f(x,y)在待计算点需要有定义并且可微。

梯度算子总是指向函数值增长最快的方向。移动方向为梯度方向，移动量大小需要乘以一个参数，称之为步长。参数迭代公式为：

公式可一直执行，直到某个条件停止为止。如迭代次数或者算法达到某个可以允许的误差范围。

训练算法：使用梯度上升找到最佳参数

梯度上升法伪代码：

数据点：

算法：

1. def loadDataSet():

2. dataMat = []

3. labelMat = []

4. fr = open("testSet.txt")

5. for line in fr.readlines():

6. lineArr = line.strip().split("\t")

7. dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #对应三个参数，第一个对应着常熟

8. labelMat.append(int(lineArr[2]))

9. return dataMat, labelMat

10.  

11. def sigmoid(inX):

12. return 1.0/(1+exp(-inX))

13.  

14. def gradAscent(dataMatIn, classLabels):

15. '''Logistic回归梯度上升优化算法'''

16. dataMatrix = mat(dataMatIn) #100行3列

17. labelMat = mat(classLabels).transpose() #transpose()将1行100列的矩阵转为100行1列mat(classLabels).T也可破

18. m,n = shape(dataMatrix) #m=100,n=3

19. alpha = 0.001

20. maxCycles = 500

21. weights = ones((n,1)) #100行1列

22. for k in range(maxCycles):

23. h = sigmoid(dataMatrix*weights) #dataMatrix*weights，100×3和3×1的矩阵相乘，得到100×1的矩阵

24. error = (labelMat - h)

25. weights = weights + alpha*dataMatrix.transpose()*error

26. return weights

27. dataMat, labelMat = loadDataSet()

28. weights = gradAscent(dataMat, labelMat)

29. print weights

 

Figure5-4: 算法参数

分析数据：画出决策边界

上一步确定了回归系数，确定了不同类别数据之间的分割线。这一步画出分割线：

1. def plotBestFit(weights):

2. dataMat, labelMat = loadDataSet()

3. dataArr = array(dataMat) #将每个数据点的x,y坐标存为矩阵的形式

4. n = shape(dataArr)[0] #取其行数,也即数据点的个数

5. #======画数据点

6. xcord1 = []

7. ycord1 = []

8. xcord2 = []

9. ycord2 = []

10. for i in range(n):

11. if int(labelMat[i]) == 1: #若是正例，存到(x1,y1)中

12. xcord1.append(dataArr[i,1])

13. ycord1.append(dataArr[i,2])

14. else:

15. xcord2.append(dataArr[i,1])

16. ycord2.append(dataArr[i,2])

17. fig = plt.figure()

18. ax = fig.add_subplot(111)

19. ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c="red",marker = "s")

20. ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c="green")

21. #============

22. x = arange(-3.0,3.0,0.1) #x为numpy.arange格式，并且以0.1为步长从-3.0到3.0切分。

23. #拟合曲线为0 = w0*x0+w1*x1+w2*x2, 故x2 = (-w0*x0-w1*x1)/w2, x0为1,x1为x, x2为y,故有

24. y = (-weights[0] - weights[1]*x)/weights[2]

25. #x为array格式，weights为matrix格式，故需要调用getA()方法，其将matrix()格式矩阵转为array()格式

26. ax.plot(x,y)

27. plt.xlabel("X1")

28. plt.ylabel("X2")

29. plt.show()

30. dataMat, labelMat = loadDataSet()

31. weights = gradAscent(dataMat, labelMat)

32. #getA()方法，其将matrix()格式矩阵转为array()格式，type(weights),type(weights.getA())可观察到。

33. plotBestFit(weights.getA())

 

Figure 5-5: 分割线

训练算法：随机梯度上升

梯度上升算法中，每次更新回归系数需要遍历整个数据集。数据量若是大了，计算复杂度较高。

改进方法：一次仅用一个样本点更新回归系数，这便是随机梯度上升算法。

伪代码：

代码：

 

1. def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):

2. '''随机梯度上升算法'''

3. m,n = shape(dataMatrix)

4. alpha = 0.01

5. weights = ones(n)

6. for i in range(m):

7. h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights)) #此处h为具体数值

8. error = classLabels[i] - h #error也为具体数值

9. weights = weights + alpha*error*dataMatrix[i] #每次对一个样本进行处理，更新权值

10. return weights

11. dataArr, labelMat = loadDataSet()

12. weights = stocGradAscent0(array(dataArr), labelMat)

13. plotBestFit(weights)

 

Figure 5-6: 随机梯度上升算法分割线

结果显示其效果还不如梯度上升算法，不过不一样，梯度上升算法，500次迭代每次都用上了所有数据，而随机梯度上升算法总共也只用了500次。需要对其进行改进：

 

1. def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):

2. '''改进的随机梯度上升算法，收敛得更快'''

3. m,n = shape(dataMatrix)

4. weights = ones(n)

5.  

6. for j in range(numIter):

7. dataIndex = range(m)

8. for i in range(m):

9. alpha = 4/(1.0+i+j)+0.0001 #alpha迭代次数不断变小，1.非严格下降，2.不会到0

10. #随机选取样本更新系数weights,每次随机从列表中选取一个值，用过后删除它再进行下一次迭代

11. randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))#每次迭代改变dataIndex,而m是不变的，故不用unifor(0, m)

12. h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))

13. error = classLabels[randIndex] - h

14. weights = weights + alpha*error*dataMatrix[randIndex]

15. del(dataIndex[randIndex])

16. return weights

17.  

18. dataArr, labelMat = loadDataSet()

19. weights = stocGradAscent1(array(dataArr), labelMat)

20. plotBestFit(weights)

Figure 5-7: 改进的随机梯度上升算法分割线

5.3 示例：从疝气病症预测病马的死亡率

准备数据：处理数据中的缺失值

可选做法：

 

• 使用可用特征的均值来填补缺失值
• 使用特殊值来填补缺失值，如-1
• 忽略有缺失值的样本
• 使用相似样本的均值添补缺失值
• 使用另外的机器学习算法预测缺失值

 

数据挖掘软件clementine几乎可以做以上数据预处理的工作。可破有问题的数据。

数据：

 

Figure 5-8: train data

 

Figure 5-9: test data

测试算法：用Logistic回归进行分类

 

1. def colicTest():

2. frTrain = open("horseColicTraining.txt")

3. frTest = open("horseColicTest.txt")

4. #==========训练数据准备

5. trainingSet = []

6. trainingLabels = []

7. for line in frTrain.readlines():

8. currLine = line.strip().split("\t")

9. lineArr = []

10. for i in range(21):

11. lineArr.append(float(currLine[i]))

12. trainingSet.append(lineArr)

13. trainingLabels.append(float(currLine[21]))

14. #==========

15. trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 500) #进行500次迭代，计算权重

16. errorCount = 0

17. numTestVec = 0.0

18. #========准备测试集并进行测试计算错误率

19. for line in frTest.readlines():

20. numTestVec +=1.0

21. currLine = line.strip().split("\t")

22. lineArr = []

23. for i in range(21):

24. lineArr.append(float(currLine[i]))

25. if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights)) != int(currLine[21]):

26. errorCount +=1

27. errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)

28. #=======

29. print "the error rate of this test is: %f" % errorRate

30. return errorRate

31.  

32. def multiTest(): #多次测试

33. numTests = 10

34. errorSum = 0.0

35. for k in range(numTests):

36. errorSum += colicTest()

37. print "after %s iterations the average error rate is: %f " % (numTests, errorSum/float(numTests))

Figure 5-10: 测试结果

 

5.4 小结

Logistic回归：

优点： 计算代价不高，易于理解和实现。

缺点： 容易欠拟合，分类精度可能不高。

适用数据类型：数值型和标称型数据。