中国剩余定理

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民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

　　秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

　　这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.

　　① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

　　解：除以3余2的数有：

　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

　　它们除以12的余数是：

　　2，5，8，11，2，5，8，11，….

　　除以4余1的数有：

　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

　　它们除以12的余数是：

　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….

　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

　　如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，

　　整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

　　②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.

　　解：当某数被3除余1对，即写上70（因为70是5和7的倍数，是3的倍数多1），余2时即写70×2＝140，这140仍是5和7的倍数，是3的倍数余2。某数被5除余1，即写上21（因为21是3和7的倍数、5的倍数余1），余2时，则写上21×2＝42，余3时，则写上21×3＝63。某数被7除余1时，即写上15（因为15是3和5的倍数，是7的倍数余1），余2时，则写上15×2＝30。根据题意，把70×2+21×3＋15×2计算出来结果。然后减去3、5、7的最小公倍数105，一直减到少于105为止，就得到了符合题目的数：

　　70×2＋21×3+15×2-105×2＝23

　　即此数是23。

　　那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×8=1073 满足除以3余2，除以5余3，除以7余2的，应该是等差数列23+210N，在1000-1500的有：1073，1283，1493。