URAL 1286

//此题网上有人已经写过解释，但我认为太过敷衍，没有挖掘内在的实质。甚至可以认为某些叙述就是毫无根据。

题目大意：判断坐标（x2,y2）能不能由（x1(+/-)m,y1(+/-)n）或者（x1(+/-)n,y(+/-)m）这八种操作得到。

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数据规模：-2^9<=x1,x2,y1,y2,m,n<=2^9，且均为整数。

理论基础：裴蜀定理：对任意两个整数a、b，设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：ax+by=m有整数解(x,y)，当且仅当m 是d 的倍数。

题目分析：由于每个数都是整数，所以这是一个基于单元格点的可达性的问题，和数论有什么联系呢？仔细观察，你会发现，我们将初始坐标变为（0,0），终止坐标变为（x,y）（x=abs(x1-x2),y=abs(y1-y2)），记gcd=gcd(m,n)。

首先，如果x%gcd!=0或者y%d!=0，那么肯定无解，因为两个不等于零会导致：x=m*a+n*b或者y=m*a+n*b方程无整数解(裴蜀定理)。

其次，如果x%gcd==0,y%gcd==0。我们令：x/=gcd,y/=gcd,m/=gcd,n/=gcd。

原问题依旧为能否至（x,y），但此时m,n互质，且不可能全为偶数。所以:用m和n可以表示任何整数。因为：a*m+b*n=1有解，其它整数都是1的倍数。

首先，我们如果用题目给的（+/-m,+/-n）分析的话，考虑太多，因为凑成x的时候，y也就随之确定。无法更改。而且我们讨论的解是整数解，本身带有正负，所以我们先由已知衍生出这样的操作：（2*m,0）,(2*n,0)还有对称的两组这里就不再写了。那么由前两种操作我们可以得出所有的（2*a,2*b）的点都可达，因为：2*（x*m+n*y=a or b）总是有整数解的。即（2*a or 2*b,0）可以由x种（2*m,0），y种(2*n,0)得来。由对称性我们可以得到：（2*a，2*b）是可达的。

然后，我们就可以将剩下的所有点变为：讨论（1,0）（与（0,1）相同），（1,1）是否可达的情况，也就是说其它的点都是由偶数坐标（2*a,2*b）+(1,0) or (0,1) or （1,1）衍生而来。

那么，我们可以得出：（1，0）当m,n为一奇一偶是可达的,不妨假设m为奇数，n为偶数。因为：m*x+n*y=1肯定有解（上面说了n次了，好累），但此时的解我们选：x为奇数，y为偶数（原方程有无数组解，这种解是存在的）。那么此时对应的对于纵坐标的操作：x*n+y*m就是偶数了。也就是说可以通过已知的证明(0,2*a)变为0了。所以当m,n一奇一偶时，是可达的，相反，全为奇数时是不可达的。因为解x,y一奇一偶无论选哪种，x*n+y*m都是奇数。不能变为0。（0,1）同理可证。

最后，我们讨论（1,1），（1,1）是任意可达的。因为当m,n一奇一偶时：m*x+n*y=1的解中我们可以选：x为奇数，y为奇数。这样：x*n+y*m就是奇数了。这是消去小于它的最大偶数就可以得到（1,1）了。当m，n均为奇数时：m*x+n*y=1的解为一奇一偶。那么：x*n+y*m也就肯定是奇数了，消去小于它的最大偶数就可以的到（1,1）了。

综上，当x or y任意一个不被gcd（m,n）整除时，不可达。皆可被gcd整除时，当x,y同为奇数或同为偶数时，任意可达。当x,y一奇一偶时，当且仅当m,n一奇一偶可达。

呼呼，可算是完了。。。好累啊。推了半天。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef double db;
#define DBG 1
#define maa (1<<31)
#define mii ((1<<31)-1)
#define sl(c) ((int)(c).size())    //取字符串长度；
#define forl(i, a, b) for(int i = (a); i <  (b); ++i)    //不带边界值循环，正序
#define forle(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)   //带边界值循环，正序
#define forh(i, a, b) for(int i = (a); i >  (b); --i)     //不带边界值，逆序
#define forhe(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); --i)        //带边界值，逆序
#define forlc(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i <  i##_b; ++i)  //带别名的循环，用于不可改变值
#define forlec(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i <= i##_b; ++i)
#define forgc(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i >  i##_b; --i)
#define forgec(i, a, b) for(int i##_b = (b), i = (a); i >= i##_b; --i)
#define forall(i, v   )  forl(i, 0, sz(v))   //循环所有
#define forallc(i, v   ) forlc(i, 0, sz(v))
#define forlla(i, v   ) forhe(i, sz(v)-1, 0)
#define forls(i, n, a, b) for(int i = a; i != b; i = n[i])   //搜表用
#define rep(n)  for(int               repp = 0; repp <    (n); ++repp)
#define repc(n) for(int repp_b = (n), repp = 0; repp < repp_b; ++repp)
#define rst(a, v) memset(a, v, sizeof a)   //把字符v填充到a  reset 重置
#define cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof a)   //copy b 的sizeof（a）个字符到a
#define rstn(a, v, n) memset(a, v, (n)*sizeof((a)[0]))  //把字符v填充到a[n]之前的字节
#define cpyn(a, b, n) memcpy(a, b, (n)*sizeof((a)[0]))    //copy b 的 n 个字符到a
#define ast(b) if(DBG && !(b)) { printf("%d!!|\n", __LINE__); while(1) getchar(); }  //调试
#define dout DBG && cout << __LINE__ << ">>| "
#define pr(x) #x"=" << (x) << " | "
#define mk(x) DBG && cout << __LINE__ << "**| "#x << endl
#define pra(arr, a, b)  if(DBG) {\
    dout<<#arr"[] |" <<endl; \
    forlec(i, a, b) cout<<"["<<i<<"]="<<arr[i]<<" |"<<((i-(a)+1)%8?" ":"\n"); \
    if((b-a+1)%8) puts("");\
}                                                             //数列查看
#define rd(type, x) type x; cin >> x   //读数
inline int     rdi() { int d; scanf("%d", &d); return d; }
inline char    rdc() { scanf(" "); return getchar(); }
inline string  rds() { rd(string, s); return s; }
inline db rddb() { db d; scanf("%lf", &d); return d; }
template<class T> inline bool updateMin(T& a, T b) { return a>b? a=b, true: false; }
template<class T> inline bool updateMax(T& a, T b) { return a<b? a=b, true: false; }

inline long long gcd(long long a,long long b)
{
    long long c;
    while (b)
    {
        c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}

int main()
{
    long long p,q,x0,y0,x1,y1,x,y,d;
    scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&p,&q,&x0,&y0,&x1,&y1);
    x=abs(x1-x0);
    y=abs(y1-y0);
    d=gcd(p,q);
    if ((!p) && (!q))
    {
        if ((!x) && (!y))  printf("YES\n");
        else    printf("NO\n");
        return 0;
    }
    if ((x%d) || (y%d))
    {
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    x/=d,y/=d,p/=d,q/=d;
    if (((p&1)^(q&1)) || ((x&1)^(y&1)^1))
        printf("YES\n");
    else   printf("NO\n");
    return 0;
}

其中:n&1的值就是判断n是否为偶数，若为偶数，n&1值为0，若为奇数,n&1值为1。

参考文献：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%B4%E8%9C%80%E5%AE%9A%E7%90%86

by:Jsun_moon http://blog.youkuaiyun.com/jsun_moon