杭电oj1025－最长递增子序列

【最长递增子序列】
    给定数列A1,A2,...An，求最长递增子序列
输入：
    第一行一个整数n，表示有n个数(n<=1000)
    第二行n个整数，用空格隔开。
输出：
    最长递增子序列长度。

【分析】
     在求以Ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在Ai前面且小于Ai的元素Aj，即j<i且Aj<Ai。如果这样的元素存在，那么对所有Aj,都有一个以Aj为末元素的最长递增子序列的长度S(j)，把其中最大的S(j)选出来，那么S(i)就等于最大的S(j)加上1，即以Ai为末元素的最长递增子序列，等于以使S(j)最大的那个Aj为末元素的递增子序列最末再加上Ai；如果这样的元素不存在，那么Ai自身构成一个长度为1的以Ai为末元素的递增子序列。
    阶段i:以第i个数为末元素
    状态S[i]:以第i个数为末元素的可能递增序列长度
    转移方程：S[i+1]←max{S[i]}+1
【算法】
    S[1]:=1;                   {以第一个元素为末元素的递增序列长度肯定是1}
    For i←2 to n do
      For j←1 to i-1 do
        Begin
          搜索A[i]前面比A[i]小的数A[j]，得到对应的S[j];
          S[i]←max{S[j]}+1;
        End;
    Write(max{S[i]});

【参考程序】

#include<stdio.h>

int main()

{

    

     intd[10],s[10];

     intlen,i,j,w;

     while(scanf("%d",&len),len)

     {

          for(i=0;i<len;i++)scanf("%d",d+i);

          s[0]=1;

          for(i=1;i<len;i++)//s[0...len-1]

          {

               w=0;

               for(j=0;j<i;j++)if(d[j]<d[i])

               {

                    if(s[j]>w)    w=s[j];

               }

               s[i]=w+1;

          }

          w=0;

          for(i=0;i<len;i++)if(s[i]>w)w=s[i];

          printf("%d\n",w);

     }

     return0;

}

最长递增子序列问题的不同求解方法求解

最长递增子序列问题是一个很基本、较常见的小问题，但这个问题的求解方法却并不那么显而易见，需要较深入的思考和较好的算法素养才能得出良好的算法。由于这个问题能运用学过的基本的算法分析和设计的方法与思想，能够锻炼设计较复杂算法的思维，我对这个问题进行了较深入的分析思考，得出了几种复杂度不同算法，并给出了分析和证明。

一，   最长递增子序列问题的描述

设L=<a₁,a₂,…,a_n>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<a_K1,a_k2,…,a_km>，其中k₁<k₂<…<k_m且a_K1<a_k2<…<a_km。求最大的m值。

二，   第一种算法：转化为LCS问题求解

设序列X=<b₁,b₂,…,b_n>是对序列L=<a₁,a₂,…,a_n>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。

最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a₁,a₂,…,a_i>,Xj=<b₁,b₂,…,b_j>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程：

这可以用时间复杂度为O(n²)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n²)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n²)＝O(n²)。

三，   第二种算法：动态规划法

设f(i)表示L中以a_i为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：

这个递推方程的意思是，在求以a_i为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于a_i的元素a_j，即j<i且a_j<a_i。如果这样的元素存在，那么对所有a_j,都有一个以a_j为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以a_i为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个a_j为末元素的递增子序列最末再加上a_i；如果这样的元素不存在，那么a_i自身构成一个长度为1的以a_i为末元素的递增子序列。

这个算法由Java实现的代码如下：

public void lis(float[] L)

  {

         intn = L.length;

         int[]f = new int[n];//用于存放f(i)值；