随机的Lazy-Greedy：lazier than lazy greedy

本文有若干公式，手机显示可能比较凌乱，建议用电脑查看
本文介绍一种针对submodular问题的基于Greedy的随机算法：Stochastic-Greedy。

算法来自AAAI2015的一篇论文 Lazier Than Lazy Greedy ，第一作者是来自ETH Zurich 的 Baharan Mirzasoleiman

Submodular问题

Submodular是集合函数的一个非常常见的性质（类似于经济学中的边际效用递减）。
关于Submodular，wiki给出了三个等价定义（这里提一下，具体参考wiki上关于submodular的定义和解释）：
如果 $\Omega$ 是一个有限集合，一个Submodular函数是$2^\Omega$到$R$的一个函数，满足如下三个等价定义
- $\forall X, Y \subseteq \Omega, X \subseteq Y, x \in \Omega \setminus Y ~\Rightarrow f(X \cup \{x\})-f(X) \geq f(Y \cup \{x\})-f(Y)$
- $\forall S, T \subseteq \Omega ~\Rightarrow~ f(S)+f(T) \geq f(S\cup T) + f(S\cap T)$
- $\forall X \subseteq S, x_1,x_2 \in \Omega \setminus X ~\Rightarrow~ f(X\cup \{x_1\} + f(X\cup \{x_1\} \geq f(X\cup \{x_1, x_2\} + f(X)$

约束最优化submodular问题

现在我们需要解决这样一个问题，已知一个具有submodular性质的函数