SDAU训练日志第七篇----------动态规划（3）（2018年2月4日）

动态规划入门详解

最新推荐文章于 2018-05-23 20:34:07 发布

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本文深入浅出地介绍了动态规划的基本概念及其应用。首先定义了动态规划的适用条件，包括最优化原理、无后效性和子问题的重叠性。接着详细讲解了状态转移方程的概念，并通过一个具体的装箱问题实例展示了动态规划算法的设计步骤和实现过程。

这一篇改了下序号。。。我发现动态规划三天根本搞不定，，，上中下表示范围小了没法用，，

今天仔细搞了一下DP里的状态转移方程，，刚开始学让这玩意搞得有点懵逼。。

动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段状态和上一阶段决策的结果。如果给定了第K阶段的状态Sk以及决策uk(Sk),则第K+1阶段的状态Sk+1也就完全确定。也就是说Sk+1与Sk,uk之间存在一种明确的数量对应关系，记为Tk(Sk,uk),即有Sk+1= Tk(Sk,uk)。这种用函数表示前后阶段关系的方程，称为状态转移方程。在上例中状态转移方程为 Sk+1= uk(Sk) 。

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

3.子问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

如何设计动态转移方程

如果满足上述条件，一般可以按照以下步骤进行设计：

一、确定问题的决策对象

二、对决策对象划分阶段

三、对各阶段确定状态变量

四、根据状态变量确定费用函数和目标函数

五、建立各阶段的状态变量的转移方程，写出状态转移方程

六、编程实现

例如

把状态转移方程理解为递归关系。就是如何从已知求得未知的表达式。
比如找一列数中最大的一个数，如果你知道了前n个数中最大，记做Max_n
那么当你遇到第n+1个数x_n+1的时候，前n+1个数中最大值是什么呢，就是拿这个新x去和之前那个max比，然后留下较大的一个，对吧，写下来
Max_n+1 = (x_n+1 > Max_n) ? x_n+1 : Max_n
这就是一个状态转移方程，就是一个递归关系。而DP往往是递归的记忆化存储，是将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。

DP问题各种模型的状态转移方程

http://blog.youkuaiyun.com/sun897949163/article/details/49559679

https://www.cnblogs.com/tgycoder/p/5037559.html

另外做了个题：装箱。洛谷P10949

题目描述

有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30，每个物品有一个体积（正整数）。
要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入输出格式
输入格式：

一个整数，表示箱子容量
一个整数，表示有n个物品
接下来n行，分别表示这n 个物品的各自体积

输出格式：一个整数，表示箱子剩余空间。

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int main()  
{  
  int v,n;  
  cin >> v >> n;  
  int *v_per=new int [n]; //单个物品体积
   int *dp=new int [v+1]; //dp[i]表示前i个物品装箱能获得的最大体积。
  memset(dp, 0, sizeof(dp)); 
   for(int i=0; i<n; i++)   
    cin>>v_per[i];  
  for(int i=0; i<n; i++)   从前i件选若干件装箱
  {   
    for(int j=v; j>=v_per[i]; j--)  
    {  
      dp[j] = max(dp[j], dp[j-v_per[i]]+v_per[i]);  //拿不拿j
    }  
  }  
  cout << v-dp[v]<<endl;  //输出剩余量
}

目前也就只会做这种程度的题，明天再仔细看看拓展

先写到这吧