浅析constraint generation（约束生成，行生成）和column generation（列生成）

这篇博文主要是想记录一下我这几天的工作心得。鉴于网上关于constraint generation和column generation的中文资料相对较少，希望这篇博文也能帮助像我一样的新学者。

首先，是我对constraint generation的理解。标题中的约束生成或者行生成是我自己翻译的，可能存在误差（单纯形法中用一行表示一个约束）。前人提出这个算法的主要原因是因为有的问题约束特别多，例如我前面博文提到的基于DFJ的TSP问题，有时候列举出每一个约束是不可行的（复杂度可能高达n！阶乘的复杂度），因此必须想一种办法在求解最优值（是的，不是近似最优）的时候避免枚举的复杂度。constraint generation的前提即为：在一个具体的问题中，很多约束其实是弱约束，有没有这个约束对最终结果影响不大。constraint generation的原理为：若一个解是具有n个约束的模型的最优解，那么它可能是具有n+1个约束的模型的最优解；同时，只要它满足其他约束的条件（往往这类问题检查解的合法性比求解最优解更快更好理解，这也是启发式算法的基础），那么它就是具有n+1个约束的最优解。以TSP问题举例说明：只要在n个约束下，求得的解是一条合法的TSP路径（不存在子环），那么它一定也是具有n+1个约束的最优解，因此，其它的约束不需要进行考虑。综上所述，我们不需要枚举出所有的约束条件，再进行最优值求解，我们应当采取以下策略进行求解：1.先求解一个解。2.分析这个解，若满足所有约束，则算法停止，输出这个解。3.找出所有这个解不满足的约束（有的参考资料会说是性价比最高的解，但我个人通过实验验证，针对TSP问题，一次性加入所有不满足的约束更好），并且将这些解加入模型中。4.根据这些约束，重新求解模型，得到一个解，并转至步骤2。

 constraint generation的核心即为我上面所述，一般而言，通过优化步骤2和步骤3可以明显提高算法效率。同时，步骤3有时可以结合启发式算法进行优化。

讲完constraint generation，让我们来谈谈column generation。

网上搜索列生成，可以搜到不是相关的中文资料，同时IBM的CPLEX的用户手册也有关于column generation