同余与模算术与 poj1995

最新推荐文章于 2022-07-23 18:28:49 发布

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#poj #stl

本文探讨了同余性质的两个重要方面，并基于这些性质介绍了一种高效的快速幂算法实现方式，该算法适用于求解大规模指数运算在特定模数下的结果。

let a=(k1n+c), b=(k2n+c), ( k1n<=a< (k1+1)n ) && ( k2n<=b<(k2+1)n )

a*b=k1k2n^2 + dk1n + ck2n + cd

ab mod n = cd mod n = (a mod n) (b mod n) mod n

2.1 同余性质1：

对任意整数b

ab≡bc (mod m) -----------(1)

证明：

c=a mod m <=> a = km +c

=>ab = k*b*m+bc => ab mod m = (k*b*m + bc)mod m = bc mod m

(1)式等价于：ab mod m =b* (a mod m) mod m，这非常适合递归计算。

2.2 同余性质2

a≡c (mod m) => a²≡c² (mod m)--------------(2)

证明:

a=k*m+c =>a²=(km)²+2ckm+c² =>a² mod m =c² mod m，即（2）成立

另附poj1995

#include<cstdio>

int z, m, h, ans, a, b;

int pow_getmod(int a, int b){
	int nowmod=a % m, nowans=1;
	for (int i=b; i>0; i>>=1){
		if (i&1) (nowans=nowans* (nowmod) %m);  
		nowmod=nowmod*nowmod % m;
	}
	return nowans;
}

int main(){
	scanf("%d", &z);
	for (int i=0; i<z; i++){
		scanf("%d%d", &m, &h);
		ans=0;
		for (int j=0; j<h; j++){
			scanf("%d%d", &a, &b);
			ans=(ans+pow_getmod(a,b)) % m;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
}