hdu 2604 Queuing 矩阵快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂优化状态转移的算法解决特定队列计数问题的方法。该问题要求计算长度可达1e6的队列中不包含特定模式的队列总数，并通过递推公式和矩阵运算实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604

题意：给出一个队列，其中站着f（女人）m（男人），让你求出队列中不含有fmf和fff的队列总共的种类数（对M取模）。队列长度达到1e6肯定不能用排列组合做，用状态转移的方式。因为要取模，所以不能打表，只能每次求，这样就需要用到矩阵快速幂来降低时间复杂度了。

递推公式：（a[i][0]~aa[i][3]分别代表mm,mf,fm,ff结尾的队列）

a[i][0]=a[i-1][2]+a[i-1][0]

a[i][1]=a[i-1][0]

a[i][2]=a[i-1][1]+a[i-1][3]

a[i][3]=a[i-1][1]

所以右乘矩阵 1 0 1 0 即可。

1 0 0 0

0 1 0 1

0 1 0 0

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define maxn 10
int M,K;
struct Matrix
{
    int n,m;
    int a[maxn][maxn];
    Matrix operator *(const Matrix &b)const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                for(int k=0; k<m; k++)
                {
                    tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                    tmp.a[i][j]%=M;
                }
        return tmp;
    }
};
Matrix M_quick_pow(Matrix &m,int k)
{
    Matrix tmp;
    tmp.n=m.n;
    tmp.m=m.m;
    for(int i=0; i<tmp.n; i++)
    {
        for(int j=0; j<tmp.n; j++)
        {
            if(i==j)
                tmp.a[i][j]=1;
            else tmp.a[i][j]=0;
        }
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp=tmp*m;
        k>>=1;
        m=m*m;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&K,&M)!=EOF)
    {
        Matrix aa;
        aa.n=aa.m=4;
        aa.a[0][0]=aa.a[0][2]=aa.a[1][0]=aa.a[2][1]=aa.a[2][3]=aa.a[3][1]=1;
        aa.a[0][1]=aa.a[0][3]=aa.a[1][1]=aa.a[1][2]=aa.a[1][3]=aa.a[2][0]=aa.a[2][2]=aa.a[3][0]=aa.a[3][2]=aa.a[3][3]=0;
        Matrix bb;
        bb.n=1,bb.m=4;
        bb.a[0][0]=bb.a[0][1]=bb.a[0][2]=bb.a[0][3]=1;
        aa=M_quick_pow(aa,K-2);
        bb=bb*aa;
        int ans=0;
        for(int i=0;i<4;i++)
        ans=(ans+bb.a[0][i])%M;
        printf("%d\n",ans);

    }

}

本来做之前说建立矩阵如网络流建图一样困难，仔细想一想，没有那么困难，主要是找出递推公式，让后矩阵快速幂就是用来优化的。