POJ3420 Quad Tiling DP + 矩阵快速幂

骨牌堆积问题的矩阵快速幂解决

最新推荐文章于 2021-09-11 19:55:36 发布

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本文探讨了如何使用矩阵快速幂方法解决骨牌堆积成特定矩形的组合问题，通过构建状态转移矩阵并对其进行快速幂运算，计算出在特定约束条件下的方案总数。

题目大意是用1*2的骨牌堆积成4*N的矩形，一共有多少种方法，N不超过10^9。

这题和曾经在庞果网上做过的一道木块砌墙几乎一样。因为骨牌我们可以横着放，竖着放，我们假设以4为列，N为行这样去看，并且在骨牌覆盖的位置上置1，所以一共最多有16种状态。我们在第M行放骨牌的时候，第M+1行的状态也是有可能被改变的，设S(i,j)表示某一行状态为i时，将其铺满后下一行状态为j的方案书。考虑下如果我们让矩阵S和S相乘会有什么意义，考虑一下会发现S*S的意义当某行状态为i，接着其后面第2行的状态为j的可行方案数，一般地，S^n则代表接下来第n行状态为j的方案数，这里N很大，我们可以用快速幂对矩阵的幂进行加速。对于S矩阵的最初状态我们可以穷尽搜索来求。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <map>

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
using namespace std;
int State[16][16];
int Start[16][16];
int IMod;

void InitState(int ori, int s, int p)
{
	bool isfull = true;
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		if (((s >> i) & 1) == 0)
		{
			//竖着放
			InitState(ori, s | (1 << i), p | (1 << i));
			//横着放
			if (i < 3 && ((s >> (i + 1)) & 1) == 0)
			{
				int tp = s | (1 << i);
				tp |= (1 << (i + 1));
				InitState(ori ,tp, p);
			}
			isfull = false;
			break;
		}
	}
	if (isfull)
	{
		State[ori][p] += 1;
	}
}

void Product(int a[][16], int b[][16], int res[][16])
{
	for (int i = 0; i < 16;i++)
	{
		for (int j = 0; j < 16; j++)
		{
			res[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k < 16; k++)
			{
				res[i][j] += (a[i][k] * b[k][j] % IMod);
				res[i][j] %= IMod;
			}
		}
	}
}

void QProduct(int p[][16], int res[16][16], int n)
{
	memset(res, 0, sizeof(int) * 16 * 16);
	int tmp[2][16][16];
	int tmpres[16][16];
	memcpy(tmp[0], p, sizeof(int) * 16 * 16);
	int i = 0;
	for (int k = 0; k < 16; k++)
	{
		res[k][k] = 1;
	}
	while (n)
	{
		
		if (n & 1)
		{
			memcpy(tmpres, res, sizeof(int) * 16 * 16);
			Product(tmpres, tmp[i & 1], res);
		}
		Product(tmp[i & 1], tmp[i & 1], tmp[(i + 1) & 1]);
		i++;
		n = n >> 1;
	}
}


int main()
{
#ifdef _DEBUG
	freopen("d:\\in.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, m;
	memset(State, 0, sizeof(State));
	for (int i = 0; i < 16; i++)
	{
		InitState(i, i, 0);
	}
	
	int finstates[16][16];
	int res[16][16];
	memset(Start, 0, sizeof(Start));
	Start[0][0] = 1;
	while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
	{
		if (n == 0 || m == 0)
		{
			break;
		}
		IMod = m;
		QProduct(State, finstates, n);
		Product(Start, finstates, res);
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < 16; i++)
		{
			ans += res[i][0];
			ans %= IMod;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}