后缀树组 倍增算法

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这两天在学习后缀数组，但是翻阅网上很多博客都没有找到一个比较适合初学者的，于是没有办法，自己参考着-----算法合集之《后缀数组——处理字符串的有力工具》去学习，发了两天时间，虽然没有弄懂，那个倍增法的原理，但是步骤是了解了。为了省去读者的切换，我从作者那边复制我认为重要并且代码讲解需要的部分。如下

１．１基本定义

 

子串：

   字符串S的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中从i到j这一段，也就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j]形成的字符串。

 

后缀：

  后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i)，也就是
Suffix(i)=r[i..len(r)]。（也就是说后缀是特殊的子串  这是我自己加上的）

大小比较：

  关于字符串的大小比较，是指通常所说的“字典顺序”比较，也就是对于两个字符串u、v，令i从1开始顺次比较u[i]和v[i]，

  如果u[i]=v[i] 则令i加1，否则若u[i]<v[i]则认为u<v，u[i]>v[i]则认为u>v（也就是v<u），比较结束。如果i>len(u)或者i>len(v)仍比较不出结果，那么若
         len(u)<len(v)则认为
         u<v，若len(u)=len(v)则认为
         u=v，若
         len(u)>len(v)则u>v。
         从字符串的大小比较的定义来看，S的两个开头位置不同的后缀u和v进行比较的结果不可能是相等，因为u=v的必要条件len(u)=len(v)在这里不可能满足。

后缀数组：

  后缀数组SA是一个一维数组，它保存1..n的某个排列SA[1]，SA[2]，……，SA[n]，并且保证Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])，1≤i<n。也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。

名次数组：

   名次数组Rank[i]保存的是Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次”。

简单的说，后缀数组是“排第几的是谁？”，名次数组是“你排第几？”。容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。如图1所示。

 

上面那句话是比较重点  因为到下面讲解时容易混淆。

 

为了完成后缀数组的学习，我们还要学习基数排序，基数排序有LSD与MSD   后缀树组只要学习LSD 为什么强调这点，因为之前看代码不懂，以为是MSD的代码，结果去学MSD,但是网上也没有比较好的MSD(我没有找到，不能说没有)，为了方便这里写出LSD的排序方法（百度百科）。但是我认为这个例子足够掌握LSD了。

 

假设原来有一串数值如下所示：

73, 22, 93, 43, 55, 14, 28, 65, 39, 81

首先根据个位数的数值，在走访数值时将它们分配至编号0到9的桶子中：

0

1 81

2 22

3 73 93 43

4 14

5 55 65

6

7

8 28

9 39

第二步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：

81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39

接着再进行一次分配，这次是根据十位数来分配：

0

1 14

2 22 28

3 39

4 43

5 55

6 65

7 73

8 81

9 93

第三步

接下来将这些桶子中的数值重新串接起来，成为以下的数列：

14, 22, 28, 39, 43, 55, 65, 73, 81, 93

 

如果大家还是有点不是太懂，我们这样看

 

			43
			93		65
	81	22	73	14	55			28	39

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0    1       2       3      4      5        6          7       8       9

 

把0到9想象成一个队列，先进先出，第一次比较个位，结尾是1的  就放在1号这个队列里，依次放入然后按从小到大取出得到新的数组81, 22, 73, 93, 43, 14, 55, 65, 28, 39   对于3号队列里放了3个所以，先进先出，73最开始进去的，所以第一个拿出来，第二部，以这个最新的数组再次放入，这次按十位这个位的数字放入。

 

好了，你已经学会了基数排序，然后让我们开始着手后缀数组吧。

 

要想实现后缀数组，最重要的就在这个图上，

 

rank数组就是上面提到的名词数组，那么怎么求呢？

 

那个图就是步骤，让我解释一下原图的意思，第一次排序就是讲原来的字母按照大小比较生成rank数组，然后将rank数组组合成一个2位十进制

也就是11   12   21   11   11   11   11   12  20  就是下面想 x y那一栏  然后比较这些十位数的大小  又生成一个rank[]数组，然后重复，什么时候结束呢，当我们发现rank[]数组没有重复排名的时候就停止，大家，这里不要想着rank的含义，就想着他是一个普通的一位数。

 

下面就是比较核心的了，怎么生成rank[]数组，就是基数排序 

也许你会问快排不行吗，当然可以，只是这里就是俩位数，用基数排序，时间复杂度更低，为什么？快排的时间复杂度位n*logn   而基数排序的时间复杂度为O(n)    最坏情况下，排序次数为logn次，所以快排总的时间复杂度为O(nlogn*logn)。基数排序的时间复杂度为n*logn

具体证明这里就不写了，当然我在写这篇博客的时候是不会证明的，但是论文上是这样说的。

 

 

正题：

 

首先  对数组   a a b a a a a b进行排序 

 

第一步  先将第一个a加入进来

a

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a       b       c      d      e      f        g      

 

 

第二步  先将第二个a加入进来  这里为了区分  不同a   所以用字母在数组中的下标来表示

1
0

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a       b       c      d      e      f        g      

 

第三步  将下标为2的b加入进来 (数组下标从0开始)

1
0	2

---

a       b       c      d      e      f        g      

 

第四步  将下标为3的a加入进来 (数组下标从0开始)

3
1
0	2

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a       b       c      d      e      f        g      

 

依次进行，这里就省略了

直接到最后一步

6
5
4
3
1	7
0	2

---

a                    b                  c               d                      e     

 

 

然后取出  先从小的取（小的指a b c d e 也就是分割线下面的   a b c d e）

a最小并且有数据，从a取，这么多，怎么取，先进先出，最底下的最开始放进去，那么他也最开始拿出来，依次是

0 1 3 4 5 6 2 7 （这里是拿出来的下标）

 

那么rank怎么得到呢，相必大家都看出来了，在一列的是一个等级，也就是说 （0 1 3 4 5 6）这个是相等的等级那么至于等级

从0开始表示最大还是从1开始表示最大，随便你

 

那么这里就要知道rank[]数组的含义了，rank[i]表示在原数组，也就是要排序的数组，下标为i的元素的排名，相等元素排名一样

所以得到rank[0] 代表（a a b a a a a b）第0个下标所代表的元素的排名，因为下标为0的a  在第一列中所以我设为1

rank[0] = 1

下面考察下标为2的b（a a b a a a a b）  因为下标为 2 的b在第二列中  所以我排名为2.

 

所以会得到

rank数组为{ 1 1 2 1 1 1 1 2}  如图片所示。待续。。。。。。