Mathematica探究：同一速度不同方向抛出小球 能够到达的范围是怎样的

首先列出运动方程，并求解得到关于角度的曲线族的方程

f[x_, y_, a_] = Eliminate[{
    x == v Cos[a] t,
    y == v Sin[a] t + 1/2*g*t^2}, t] /. Equal -> Subtract

$$f(x,y,a)=2v^{2}x\sin (a)\cos (a)-2v^{2}y{\cos }^2(a)+g{x}^2$$

然后求解得到包络线的方程

sol = Solve[{f[x, y, a] == 0, D[f[x, y, a], a] == 0}, {x, y}]

{ { x → 0 , y → 0 } , { x → − v 2 cot ⁡ ( a ) ( sin ⁡ 2 ( a ) + cos ⁡ 2 ( a ) ) g , y → − v 2 csc ⁡ 2 ( a ) ( sin ⁡ 4 ( a ) − cos ⁡ 4 ( a ) ) 2 g } } \left\{\{x\to 0,y\to 0\},\left\{x\to -\frac{v^2 \cot (a) \left(\sin ^2(a)+\cos ^2(a)\right)}{g},y\to -\frac{v^2 \csc ^2(a) \left(\sin ^4(a)-\cos ^4(a)\right)}{2 g}\right\}\right\} {{x→0,y→0},{x→−gv2cot(a)(sin2(a)+cos2(a))​,y→−2gv2csc2(a)(sin4(a)−cos4(a))​}}

显然我们对第二组解更感兴趣，试图消掉其中的参数a，然后求解y

Equal @@@ Last@sol // Eliminate[#, a] & // Solve[#, y] &

$$\left\{\left\{y\to \frac{g^2{x}^2-v^4}{2g{v}^2}\right\}\right\}$$

二维解决，至于三维，注意上面的$x^2$