差分约束系统的应用难点在于将实际问题转换为差分约束系统。
简单来说,要构造出一系列满足题意的不等式 形如 Si-Sj<=Ck,且必须含等号。
对于每一个这样的不等式,构造有向边 w(j->i)=Ck。
为保证图的连通,我们引入附加结点Vs。初始化w(s->i)=0,d[Vs]=0
接下来就是求解源点到其他点的单源最短路径。
由于差分约束系统中通常含负值,所以我们一般用spfa或者bellman来求最短路径。
这里有个技巧,不想要添加附加结点的话,可以开始将所有点加入队列,相当于Vs入队,接下来的更新没有指回Vs的结点,所以可以省略。
注意点:
1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准x-y<=k的形式,然后建立一条从y到x权值为k的边,变得时候注意x-y<k =>x-y<=k-1
如果要求最小值的话,变为x-y>=k的标准形式,然后建立一条从y到x的k边,求出最长路径即可
2.如果权值为正,用dj,spfa,bellman都可以,如果为负不能用dj,并且需要判断是否有负环,有的话就不存在
---------------回到这道题--------------
题意:
构造一个集合,要求对每一个给定的区间 [a, b],至少包含其中的n个数
求满足条件的集合内最少含多少个数。
思路:
令Si表示在[0,i-1]区间内要选多少个数。则可列出不等式:
S(b+1)-Sa>=C
另外,由于一个数至多取一个,至少取0个,则有:
0=< Si-S(i-1)<=1
根据以上不等式构图,以给定区间的最小值为起点,最大值为终点,求解最长路即可。
小结:
其实不等式就可以看成图中边权需要满足的条件,将所有不满足条件的边更新就是了。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct node
{
int v,w,next;
}e[50010];
int d[50010],head[50010],inq[50010],n,h,minn,maxx;
void init()
{
memset(head,-1,sizeof head);
h=0;
}
void addedge(int a,int b,int c)
{
e[h].v=b;
e[h].w=c;
e[h].next=head[a];
head[a]=h++;
}
void spfa()
{
memset(d,0,sizeof d);//求最长路 赋值为0
memset(inq,0,sizeof inq);
// memset(outq,0,sizeof outq);
queue<int> q;
//省略掉那个虚点,可以优化spfa.虚点作用是让所有点入队
//所以省略掉这点的话,需要手动把所有点入队
for(int i=minn;i<=maxx;i++)
{
q.push(i);
inq[i]=1;
}
d[minn]=0;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
inq[x]=0;
// outq[x]++;
// if(outq[x]>n) return -1;//存在负环//此题不存在
for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].next)
{
if(d[e[i].v]<d[x]+e[i].w)
{
d[e[i].v]=d[x]+e[i].w;
if(!inq[e[i].v])
{
inq[e[i].v]=1;
q.push(e[i].v);
}
}
}
if(x>minn&&d[x-1]<d[x]-1)
{
d[x-1]=d[x]-1;
if(!inq[x-1])
{
inq[x-1]=1;
q.push(x-1);
}
}
if(x<maxx&&d[x+1]<d[x])
{
d[x+1]=d[x];
if(!inq[x+1])
{
inq[x+1]=1;
q.push(x+1);
}
}
}
}
int main()
{
int a,b,c;
while(~scanf("%d",&n))
{
init();//又忘了这个
maxx=-1;
minn=inf;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
addedge(a,++b,c);
maxx=max(maxx,b);
minn=min(minn,a);
}
spfa();
printf("%d\n",d[maxx]);
}
return 0;
}