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最新推荐文章于 2018-12-06 20:20:32 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种求解特定序列 (1^1+2^2+...+N^N)%7 的两种高效算法实现方法。方法一通过寻找294的循环节点简化计算过程；方法二采用二分法与快速幂技术，将问题转化为求多个等比数列之和。

题意：(1^1 + 2^2 + 3^3+……+N^N )%7

方法一：此题可找循环节以294为循环节点；

方法二：运用二分求等比数列&&快速幂

上式可以转化： 1^1 + 1^8 +1^15+……+1^(1+7*k) = 1^1( (1^7)^0+ (1^7)^2+……+(1^7)^k)求公比为1^7的等比数列前k项和

同理：求出以2^7、3^7、4^7、5^7、6^7为公比等比数列前k项和

方法一代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 7;
int a[300]={0};
char str[10][10] = {"Sunday","Monday","Tuesday","Wednesday","Thursday","Friday","Saturday"};
int fast_pow(int a,int n)
{
    int ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans = ans * a%mod;
        a = a*a %mod;
        n /= 2;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i <= 294;i++)
    {
        int k = fast_pow(i,i);
        sum = (sum + k) % 7;
        if(sum == 0) sum = 7;
        a[i] = sum - 1;
    }
    a[0] = a[294];
}
int main()
{
    int N,T;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&N);
        printf("%s\n",str[a[N%294]]);
    }
    return 0;
}

方法二代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 7;
char str[10][10] = {"Sunday","Monday","Tuesday","Wednesday","Thursday","Friday","Saturday"};
int fast_pow(int a,int n)
{
    int ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans = ans * a%mod;
        a = a*a %mod;
        n /= 2;
    }
    return ans;
}
int fun(int a,int b)
{
    int s,t;
    if(b==0) return 0;
    if(b==1) return a%mod;
    s=fun(a,b/2)%mod;
    if(b&1)
    {
        t=fast_pow(a,b/2+1)%mod;
        return (s*(t+1)+t)%mod;
    }
    else
    {
        t=fast_pow(a,b/2)%mod;
        return (s*(t+1))%mod;
    }
}
int main()
{
    int N,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&N);
        int t  = N / 7;
        int sum = 0,ans = 0;
        if(t > 0)
        {
            for(int i = 1; i < 7; i++)
            {
                int w = fast_pow(i,7);
                int x = fast_pow(i,i);
                ans = (1 + fun(w,t-1))%mod;
                ans = ans * x % mod;
                sum = (sum + ans)%mod;
            }
        }
        for(int i = t * 7 + 1; i<=N; i++)
            sum  = (sum + fast_pow(i%mod,i))%mod;
        if(sum == 0) sum = 7;
        sum -= 1;
        printf("%s\n",str[sum]);
    }
    return 0;
}