具体数学笔记. 3.1,3.2 整值函数及顶和底的应用

整数是离散数学的支柱, 我们常常需要将分数或者任意的实数转换成整数. 本章的目的就是熟悉并熟练掌握这样的转换.
本篇笔记并不是单纯抄书上的公式. 对例题的推演增加自己的理解步骤.

3.1 顶和底

对于所有的实数,有如下定义:

$$\begin{gathered} \lfloor x\rfloor 小于或者等于x的最大整数; \\ \lceil x\rceil 大于或者等于x的最小整数;\text{\hspace{1em}(3.1)} \end{gathered}$$

看一下正值函数的图形

从图中可以看出

$$\{\begin{array}{r}\begin{array}{cc}\lfloor x\rfloor -\lceil x\rceil & =0,当x是整数时\\ \lfloor x\rfloor -\lceil x\rceil & =0,当x不是是整数时\end{array}\end{array}$$

用艾佛森的括号约定,可以表示为:

$$\lfloor x\rfloor -\lceil x\rceil =[x不是整数]\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

如果把对角线下移一个单位,就有:

$$x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x⩽\lceil x\rceil <x+1\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

这些函数关于两个坐标轴互为反射:

$$\lfloor -x\rfloor =-\lfloor x\rfloor ;\lceil -x\rceil =-\lceil x\rceil \text{\hspace{1em}(3.4)}$$

还有四条法则:

$$\begin{gathered} \lfloor x\rfloor =n⟺n⩽x<n+1,(a) \\ \lfloor x\rfloor =n⟺x-1<n⩽x,(b) \\ \lceil x\rceil =n⟺n-1<x⩽n,(c) \\ \lceil x\rceil =n⟺x⩽n<n+1,(d) \\ \text{\hspace{1em}(3.5)} \end{gathered}$$

有可能将一个整数项移进或者移出底/顶

$$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,n为整数\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

底括号和顶括号在许多情况下是多于的,因此可以随意插入或者去掉它们:

$$\begin{array}{rlrl}& x<n⟺\lfloor x\rfloor <n,& & (a)\\ & n<x⟺n<\lceil x\rceil ,& & (b)\\ & x⩽n⟺\lceil x\rceil ⩽n,& & (c)\\ & n⩽x⟺n⩽\lfloor x\rfloor .& & (d)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

x和$\lfloor x \rfloor $之间的差称为$x$的分数部分:

$$x=x-\lfloor x\rfloor \text{\hspace{1em}(3.8)}$$

3.2 底和顶的应用

证明:

$$\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor }\rfloor =\lfloor \sqrt{x}\rfloor ,实数x⩾0.\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

证明步骤是: 用某种方法去掉$\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor }\rfloor$外层的底和平方根,然后去掉内层的底,接着再将外层的符号加回去以得到$\lfloor \sqrt{x}\rfloor$

$$\begin{array}{rlrlr}设& & m=\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor }\rfloor & & \\ & & m⩽\sqrt{\lfloor x\rfloor }<m+1& & \cdots (3.5a)\\ & & m^2⩽\lfloor x\rfloor <(m+1{)}^2& & \\ & & m^2⩽x<(m+1{)}^2& & \cdots 左边用(3.7d),右边用(3.7a)\\ & & m⩽\sqrt{\lfloor x\rfloor }<m+1& & \\ & & m=\sqrt{\lfloor x\rfloor }& & \cdots (3.5a)\end{array}$$

推广一下, 设$f(x)$是一个再实数区间连续的单调递增函数.

$$f(x)=整数\Rightarrow x=整数$$

$$\begin{array}{l}\lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor \\ \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil \end{array}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

对底的证明和刚才的几乎是相同的. 现在来证明顶. 如果$x=\lceil x\rceil$,那就没什么好证明的,肯定成立.

如果$x̸=\lceil x\rceil$, 那么就有$ x \leqslant \lceil x \rceil$

$$\begin{array}{rl}\because & f(x)函数递增,且x⩽\lceil x\rceil \\ \therefore & f(x)<f(\lceil x\rceil )\\ & \lceil f(x)\rceil ⩽f(\lceil x\rceil )\\ 又\because & 函数f(x)递增,\\ \therefore & \exists y(x⩽y<\lceil x\rceil ),使得f(y)=\lceil f(x)\rceil \\ & 根据定义可得y是整数,但是不可能有一个整数位于\lfloor x\rfloor 与\lceil x\rceil 之间\\ \therefore & \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil \end{array}$$

这个定理的一个重要特例值得提出来加以注意:如果m,n是整数且n为正,则:

$$\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\rfloor \text{\hspace{1em}(3.11)}$$

还可以得到区间包含的整数

(3.12)区间包含的整数限制条件[α⋯β]⌊β⌋−⌈α⌉+1α⩽β[α⋯β)⌈β⌉−⌈α⌉α⩽β(α⋯β]⌊β⌋−⌊α⌋α⩽β(α⋯β)⌈β⌉−⌈α⌉−1α&lt;β \tag{3.12} \begin{aligned} &amp;{\footnotesize 区间 }&amp;&amp;{\footnotesize 包含的整数 }&amp;&amp;{\footnotesize 限制条件 }\\ &amp;[\alpha \cdots \beta]&amp;&amp; \lfloor\beta\rfloor-\lceil\alpha\rceil+1 &amp;&amp; \alpha\leqslant \beta\\ &amp;[\alpha \cdots \beta)&amp;&amp; \lceil\beta\rceil-\lceil\alpha\rceil&amp;&amp; \alpha\leqslant \beta\\ &amp;(\alpha \cdots \beta]&amp;&amp; \lfloor\beta\rfloor-\lfloor\alpha\rfloor&amp;&amp; \alpha\leqslant \beta\\ &amp;(\alpha \cdots \beta)&amp;&amp; \lceil\beta\rceil-\lceil\alpha\rceil -1&amp;&amp; \alpha &lt; \beta\\ \end{aligned} ​区间[α⋯β][α⋯β)(α⋯β](α⋯β)​​包含的整数⌊β⌋−⌈α⌉+1⌈β⌉−⌈α⌉⌊β⌋−⌊α⌋⌈β⌉−⌈α⌉−1​​限制条件α⩽βα⩽βα⩽βα<β​(3.12)

求1到1000中使得下列式子成立的n一共有多少个？

$$\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor \backslash n$$

求解方法如下：

$$\begin{array}{lc}W=\sum _{n=1}^{1000}[\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor \backslash n]& \\ & \\ =\sum _{k,n}[k=\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor ][k\backslash n][1⩽n⩽1000]& \\ =\sum _{k,n}[k⩽\sqrt[3]{n}<(k+1)][k\backslash n][1⩽n⩽1000]& \cdots 根据3.5(b)\\ =\sum _{k,m,n}[k^3⩽n<{(k+1)}^3][n=km][1⩽n⩽1000]& \\ =\sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k⩽10]& \cdots n⩽1000,即k^3⩽1000,即k⩽10\\ =1+\sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k<10]& \cdots 将k=10单独拿出来\\ =1+\sum _{k,m}[m\in [k^2\cdots (k+1{)}^3/k)][1⩽k<10]& \\ =1+\sum _{1⩽k<10}(\lceil k^2+3k+3+1/k\rceil -\lceil k^2\rceil )& \cdots 根据3.12\\ =1+\sum _{1⩽k<10}(k^2+3k+3+\lceil 1/k\rceil -k^2)& \cdots 根据3.6\\ =1+\sum _{1⩽k<10}(3k+4)& \\ =1+\frac{7+31}{2}\times 9& \\ =172& \end{array}$$

其中

$$\sum _{1⩽k<10}(3k+4)$$

是一个等差数列,

$$\begin{array}{rl}& [3(k+1)+4]-(3k+4)]\\ =& 3k+3+4-3k-4\\ =& 3\end{array}$$

所以根据等差数列的前N项和公式.

$$\begin{array}{rl}& \sum _{1⩽k<10}(3k+4)\\ =& \frac{(3\ast 1+4)+(3\ast 9+4)}{2}\times 9\\ =& \frac{7+31}{2}\times 9\end{array}$$

继续推广，求1到N中使得上面式子成立的n有多少个？
令$K=\lfloor \sqrt[3]{N}\rfloor$

$$\begin{array}{rl}W=& \sum _{n=1}^N[\lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor \backslash n]\\ =& \sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k⩽K]\cdots 从刚才的运算可知\\ =& \sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k<K]+\sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][k=K]\\ =& \sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k<K]+\sum _m[K^3⩽Km<{(K+1)}^3]\\ =& \sum _{k,m}[k^3⩽km<{(k+1)}^3][1⩽k<K]+\sum _m[K^3⩽Km⩽N]\\ =& \sum _{1⩽k<K}(3k+4)+\sum _m[K^3⩽Km⩽N]\cdots 接上书上的公式,加号左边的运算是根据以上的运算获得\\ =& \frac{1}{2}(7+3K+1)(K-1)+\sum _m[m\in [K^2..N/K]]\\ =& \frac{3}{2}{K}^2+\frac{5}{2}K-4+\sum _m[m\in [K^2..N/K]]\\ =& \frac{3}{2}{K}^2+\frac{5}{2}K-4+\lfloor N/K\rfloor -\lceil K^2\rceil +1\\ =& \frac{3}{2}{K}^2+\frac{5}{2}K-4+\lfloor N/K\rfloor -K^2+1\\ =& \lfloor N/K\rfloor +\frac{1}{2}{K}^2+\frac{5}{2}K-3\\ \approx & \frac{N}{\sqrt[3]{N}}+\frac{1}{2}{(\sqrt[3]{N})}^2+\frac{5}{2}\sqrt[3]{N}-3=N^{1-\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}{N}^{\frac{2}{3}}+\frac{5}{2}{N}^{\frac{1}{3}}-3\\ =& N^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}{N}^{\frac{2}{3}}+\frac{5}{2}{N}^{\frac{1}{3}}-3\\ \approx & \frac{3}{2}{N}^{\frac{2}{3}}+O(N^{\frac{1}{3}})\end{array}$$

这一节的最后一个应用是研究谱(spectrum). 一个实数的谱是整数组成的一个无限多重集合:

Spec(α)={⌊α⌋,⌊2α⌋,⌊3α⌋,⋯&ThinSpace;} Spec(\alpha) = \{\lfloor \alpha \rfloor,\lfloor 2\alpha \rfloor,\lfloor 3\alpha \rfloor,\cdots\} Spec(α)={⌊α⌋,⌊2α⌋,⌊3α⌋,⋯}

设$\alpha$是正数,$Spec(\alpha )$中$⩽n$的元素的个数是:

$$\begin{array}{rl}N(\alpha ,n)=& \sum _{k>0}[\lfloor k\alpha \rfloor ⩽n]\\ =& \sum _{k>0}[\lfloor k\alpha \rfloor <n+1]\\ =& \sum _{k>0}[k\alpha <n+1]\\ =& \sum _k[0<k<(n+1)/\alpha ]\\ =& \lceil (n+1)/\alpha \rceil -1\end{array}\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

这一推导过程有两处特别有意义.首先,它用规则
$ m ⩽ n ⟺ m< n+1, {\footnotesize m 和n 为整数}$
将"$⩽$“改变成”<",所以根据(3.7)就可以了去掉底括号. 还有更为巧妙的, 它对$k>0$而不是$k⩾1$求和, 因为对于某些$n$和$\alpha$,$(n+1)/\alpha$可能会小于1