【图像缩放】双立方（三次）卷积插值

前言

图像处理中有三种常用的插值算法：

• 最邻近插值

• 双线性插值

• 双立方（三次卷积）插值

其中效果最好的是双立方（三次卷积）插值，本文介绍它的原理以及使用

如果想先看效果和源码，可以拉到最底部

本文的契机是某次基于canvas做图像处理时，发现canvas自带的缩放功能不尽人意，于是重温了下几种图像插值算法，并整理出来。

为何要进行双立方插值

• 对图像进行插值的目的是为了获取缩小或放大后的图片

• 常用的插值算法中，双立方插值效果最好

• 本文中介绍双立方插值的一些数学理论以及实现

双立方和三次卷积只是这个插值算法的两种不同叫法而已，可以自行推导，会发现最终可以将求值转化为卷积公式

另外，像Photoshop等图像处理软件中也有这三种算法的实现

数学理论

双立方插值计算涉及到16个像素点，如下图

简单分析如下：

• 其中P00代表目标插值图中的某像素点(x, y)在原图中最接近的映射点

• 譬如映射到原图中的坐标为(1.1, 1.1)，那么P00就是(1, 1)

• 而最终插值后的图像中的(x, y)处的值即为以上16个像素点的权重卷积之和

下图进一步分析

如下是对图的一些简单分析

• 譬如计算插值图中(distI, distJ)处像素的值

• 首先计算它映射到原图中的坐标(i + v, j + u)

• 也就是说，卷积计算时，p00点对应(i, j)坐标

• 最终，插值后的图中(distI, distJ)坐标点对应的值是原图中(i, j)处邻近16个像素点的权重卷积之和

  • i, j的范围是[i - 1, i + 2]，[j - 1, j + 2]

卷积公式

• 设采样公式为S(x)

• 原图中每一个(i, j)坐标点的值得表达式为f(i, j)

• 插值后对应坐标的值为F(i + v, j + u)（这个值会作为(distI, distJ)坐标点的值）

那么公式为：

等价于(可自行推导)

提示

一定要区分本文中v, u和row, col的对应关系，v代表行数偏差，u代表列数偏差（如果混淆了，会造成最终的图像偏差很大）

如何理解卷积？

这是大学数学内容，推荐看看这个答案如何通俗易懂的解释卷积-知乎

采样公式

在卷积公式中有一个S(x)，它就是关键的卷积插值公式

不同的公式，插值效果会有所差异（会导致加权值不一样）

本文中采用WIKI-Bicubic interpolation中给出的插值公式：

公式中的特点是：

• S(0) = 1

• S(n) = 0(当n为整数时)

• 当x超出范围时，S(x)为0

• 当a取不同值时可以用来逼近不同的样条函数（常用值-0.5, -0.75）

当a取值为-1

公式如下：

此时，逼近的函数是y = sin(x*PI)/(x*PI)