1.3 机器学习基础-常见函数及优化算法

        在机器学习和深度学习中，损失函数、激活函数和优化算法是三个核心组成部分。它们分别负责衡量模型的准确性、引入非线性特性和优化模型参数。本文将重点介绍这三个部分，并且给出一些常见的例子和相应的公式。

一、损失函数

在机器学习和深度学习中，损失函数（loss function）是用来评估模型预测输出与真实值之间的差异的函数。损失函数可以帮助我们优化模型参数，使其能够更好地拟合数据。在训练过程中，我们尽可能地将损失函数的值最小化。常见的损失函数包括：

        1. 均方误差损失函数（Mean Squared Error Loss）

        均方误差损失函数是用于回归问题的一种常见的损失函数。它衡量了模型预测值和真实值之间的平方误差。均方误差损失函数在深度学习中的应用非常广泛，如在预测房价、预测股票价格等任务中。

        均方误差损失函数的公式为： 

         

        2.交叉熵损失函数（Cross Entropy Loss）

        交叉熵损失函数是用于分类问题的一种常见的损失函数。它的本质是测量两个概率分布之间的相似度。在分类问题中，它衡量了预测概率分布和真实标签之间的差异。交叉熵损失函数在深度学习中的应用非常广泛，如在图像分类、文本分类和语音识别等任务中。

        二分类交叉熵损失函数的公式为：

        

        多分类交叉熵损失函数的公式如下：

        3. 对数损失（Logarithmic Loss，LogLoss）

        对数损失也是一种用于分类问题的损失函数。它计算模型预测概率和真实标签之间的差异。对数损失的公式如下：

        

        4. 汉明损失函数（Hamming Loss）

         汉明损失函数是一种多标签分类问题中的损失函数，它衡量模型预测结果与真实结果之间的汉明距离（即模型预测的标签和真实标签不相同的数量）。汉明损失函数的公式如下：

        5. Hinge损失

        Hinge损失是一种用于支持向量机（SVM）模型的损失函数。它通过比较模型预测值和真实值之间的差异来计算损失。适用于分类问题，尤其是二分类问题中的支持向量机（SVM）

        Hinge损失的公式如下：

        

        6. Huber损失函数

        Huber损失函数是一种鲁棒性较强的损失函数，用于回归问题中。Huber损失函数的公式如下：

         7. BCE损失函数

        BCE损失函数是二元交叉熵损失函数的一种特殊形式，用于二分类问题中。BCE损失函数的公式如下：

         

        8. Focal损失函数

        Focal损失函数是一种用于解决类别不平衡问题的损失函数，与交叉熵损失函数类似。Focal损失函数的公式如下：

        

 

二、激活函数

        激活函数是神经网络中的一个重要组成部分，它引入了非线性特性，使得神经网络可以拟合更加复杂的函数。常见的激活函数包括：

        1. Sigmoid函数

        Sigmoid函数是最早使用的激活函数之一，其公式如下：        

        Sigmoid函数将输入值映射到了[0, 1]区间内，可以将其视为输出一个概率值的模型，常用于二分类问题。但是，Sigmoid函数在输入值比较大或比较小时，梯度会变得非常小，从而导致梯度消失的问题，因此在较深的网络中很少使用。

        2. Tanh函数

        Tanh函数也是一种S型函数，但其输出范围为[-1, 1]，公式如下：

         Tanh函数比Sigmoid函数具有更强的非线性特性，可以将其应用于需要对输入进行归一化的任务。

        3. ReLU函数

        ReLU函数是近年来最受欢迎的激活函数之一，其公式如下：

       

         ReLU函数在输入值为正时，输出其本身，否则输出0。ReLU函数的计算速度非常快，同时也避免了梯度消失问题。但是，ReLU函数在输入值为负时梯度为0，也可能导致神经元死亡的问题，因此在一些场景下需要使用其他的变种。

        4. Leaky ReLU函数

        Leaky ReLU函数是对ReLU函数的一种改进，其公式如下：        

         当输入值为负时，Leaky ReLU函数的梯度不为0，从而避免了ReLU函数可能导致神经元死亡的问题。同时，Leaky ReLU函数也保持了ReLU函数的计算速度。

        5. Softmax函数

        Softmax函数是一种常用的多分类激活函数，其公式如下：

        

        其中，z表示模型的输出，K表示分类数。Softmax函数将模型的输出转换为概率分布，输出的每个元素表示对应类别的概率。

        6. Swish函数

        Swish函数是一种近期提出的激活函数，其公式如下：

        Swish函数在ReLU函数的基础上加入了sigmoid函数的非线性特性，其表现优于ReLU函数，但是计算代价稍大。

三、优化算法

        优化算法是深度学习训练过程中至关重要的一部分，它的作用是通过调整模型参数来最小化损失函数，从而达到训练模型的目的。

        1. 梯度下降法（Gradient Descent）

        梯度下降法是优化算法中最基础和最常见的一种算法，它的目的是通过迭代寻找损失函数的最小值。该算法的基本思想是，沿着损失函数梯度的反方向不断迭代，直到找到最小值。

        损失函数的梯度可以用下式表示：

                

         梯度下降法的迭代公式可以表示为：

        

       2. 随机梯度下降法（SGD）

        随机梯度下降法是最基础的优化算法之一，其核心思想是每次迭代随机选择一个样本来更新模型参数。由于随机梯度下降法每次只使用一个样本来计算梯度，因此训练速度比较快，但收敛性较差。

        SGD的更新公式为：

        3. 动量梯度下降法（Momentum Gradient Descent）

        动量梯度下降法是梯度下降法的一种改进算法，通过添加动量项来加速梯度下降的过程。动量项类似于物理学中的动量，它可以帮助模型跳出局部最优解并更快地收敛。

          动量梯度下降法的更新公式为：

        4. AdaGrad

        AdaGrad是一种自适应学习率的优化算法，它的核心思想是对每个参数分别设置学习率，从而使得模型对于稀疏特征的适应性更好。相比于传统的梯度下降法，Adam算法具有更快的收敛速度和更好的泛化性能，是目前应用最广泛的优化算法之一。

        AdaGrad的更新公式为：