明天太阳照常升起的概率是多少？

最近在阅读拉普拉斯的《关于概率的哲学笔记》，

在第三章“概率计算的一般原则”最后提到一个日出问题：

如果我们不了解太阳运行的基本规则，根据统计，在过去的N天里，太阳每天都正常升起。那么，太阳明天照常升起的概率是多少呢？

拉普拉斯在书中，指出蒲丰在著作《政治算术》中的结果 1 - (1/2) ^ N 是错误的。

正确的结果应该是 (N + 1) / (N + 2) 。 下面， 我尝试推导了一下。

推导过程，应用到第三章中提交的一些概率计算原则：

1. 第六个原则： 假定我们观测到一个经常发生的事件， 每一个被认为是导致它的原因成立的可能性被这个事件发生的概率显示。于是某一原因成立的概率是一个分数，其分子是这个原因导致此事件的概率， 而其分母是所有各原因的类似概率的和； 如果这些不同的原因被事先考虑为不是等可能时，就必须将由每个导致此事件的原因的概率代之以它与此原因本身的可能性的乘积。这就是由事件到原因的机会分析这一分支的基本原则。

2. 第七个原则： 将来的事件发生的概率是，所有引起被观测事件的原因发生的概率乘以在此原因下该事件发生的概率的乘积之和。

在我们这个问题中，

1. 观察到的现象(事件)为：过去的N天里太阳每天升起。 记为 Observation

2. 将来要估计的事件为： 明天太阳升起的概率。 记为Prediction

其实，我们希望求出 P(Prediction | Observation).

我们了解的背景知识不多， 太阳升起的概率假设为p， p是0到1之间任意一个值。 根据上面两条计算原则， 可以如下推导出答案：