SPOJ_AMR10D_Soccer Teams(DP)

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#SPOJ #动态规划

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本文介绍了一种利用动态规划解决构造最短数使其能被11整除的问题的方法。通过定义状态dp[i][j][k]来表示用前i位数，有j个数放在奇数位上，模11等于k的情况，实现了高效求解。

题型：动态规划

题意：

给出1~9这些数的个数，和任意多的0，要求把给出的1~9的数都用上，构成一个最短的数，使得这个数能够被11整除，求数的位数。

分析：

若一个数能够被11整除，那么这个数的奇数位之和与偶数位之和的差能够被11整除。

如果暴力的构造，二进制枚举，每个数放在奇位上或者不放，复杂度2^100，太大。

那么其中会有很多无用的状态，这个时候，我们就可以想一下能不能用dp做。

先不考虑数最短，先只考虑能否将所有的数全用上构造出能够被11整除的数。

对于状态的定义，大概需要靠多学多做的经验。

可以转换为类似于背包的问题。

定义dp[i][j][k]表示用上前i位数，有j个数放在奇位上，模11等于k是否有解。

因为ABS(奇位和-偶位和)%11==0

有状态转移方程：

if(dp[i][j][k]有解)

r：0~a[i]

dp[i][j+r][(k+i*r-i*(a[i]-r))%11]有解

注意k+i*r-i*(a[i]-r)可能为负，需要+11直至非负。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

#define mt(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int dp[12][121][12];
int a[12],s[12];

int ABS(int x) {
    if(x<0) return -x;
    return x;
}

int main() {
    int _;
    scanf("%d",&_);
    while(_--) {
        s[0] = 0;
        for(int i=1; i<=9; i++) {
            scanf("%d",&a[i]);
            s[i] = a[i] + s[i-1];
        }

        mt(dp,0);
        dp[0][0][0] = 1;
        for(int i=0; i<=8; i++) {
            for(int j=0; j<=s[i]; j++) {
                for(int k=0; k<=10; k++) {
                    if(dp[i][j][k]) {
                        for(int r=0; r<=a[i+1]; r++) {
                            int tmp = (i+1)*r-(a[i+1]-r)*(i+1);
                            while(tmp<0) tmp+=11;
                            dp[i+1][j+r][(k+tmp)%11] = 1;
                        }
                    }
                }
            }
        }


        int ans = inf;
        for(int i=0;i<=s[9];i++){
            if(dp[9][i][0]){
                ans = min(ans,max(2*i-1,2*(s[9]-i)));
            }
        }

        if(ans==inf) puts("-1");
        else printf("%d\n",ans);

    }

    return 0;
}