体验数学之美——空间

数学中任何事物都定义在空间中，我个人觉得是一种很抽象的东西，在这个空间中定义就是这个名字，在另一个空间中定义就是另一个名字，目前还是实在看不出来有什么本质的差别，就好像是给人换了一个名字而已，但又隐约觉得不只是换了个名字，应该是换了个人。数学家们真的很聪明，他们竟然可以把那些明明很简明的东西说的那么抽象、复杂。
1.空间
空间就是某些点的集合，集合上定义某概念，满足某性质。空间中的运动即为变换——从空间中一点到另一个点的跃迁。
2.欧几里得空间（Euclid Space）
平时用到的都是n维欧几里得空间或者称为有限维实内积空间$\mathbb R^n$。
3.线性空间
线性空间中，选定一组基（即坐标系）后，用一个向量来描述空间中任何一个对象，用矩阵来描述空间中任何一个运动（即变换），使某个对象发生运动，即用代表那个运动的矩阵*代表那个对象的向量。矩阵的本质是对运动的描述。他不仅可以作为线性变换的描述，也可以作为一组基的描述。
4.完备空间
空间中任何柯西序列都收敛在该空间中，即没用孔且不缺皮。
柯西序列：它的元素随着序数的增加而愈发靠近。
5.各种空间的关系
线性空间+范数=赋范线性空间
赋范线性空间+完备性=巴拿赫空间（Banach Space）
赋范线性空间+定义角度=内积空间
内积空间+完备性=希尔伯特空间