主动队列RED算法的理论分析

 之前博客[4],基于网络流模型，分析了在没有丢包发生的情况下，tcp在网络动态行为。本篇分析下在丢包发生的情况下，网络的动态行为。内容主要来自于[1,2]。丢包模型为主动队列管理算法RED的丢包方式。

符号	定义
$W$	tcp流的窗口大小
$q$	链路中排队长度
$R$	rtt，端到端时延,$R(t)=\frac{q(t)}{C}+T_p$
$C$	链路带宽
$T_p$	固定时延即传输时延
$N$	链路中tcp会话的数量
$p$	丢包概率

 根据[3]建立的随机微分方程，窗口与队列长度满足如下方程：
$\dot W(t)=\frac{1}{R(t)}-\frac{W(t)W(t-R(t))}{2R(t-R(t))}p(t-R(t))\tag{1}$
$\dot q(t)=\frac{W(t)}{R(t)}N(t)-C\tag{2}$
 对于方程f(x,y,z),有如下结论：
$\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z\tag{3}$
 假设系统达到operating point$(W_0,q_0,p_0)$，$\dot W(t)=0,\dot q(t)=0$,k可以认为$W(t)=W(t-R(t))$:
$\dot W(t)=0 \Rightarrow {W_0}^2p_0=2,\dot q(t)=0 \Rightarrow W_0=\frac{CR_0}{N},R_0=\frac{q_0}{C}+T_p\tag{4}$
若认为q在其区间不发生变化，$R_0$为常量,在operating point附近对方程进行线性化处理。

$$\delta \dot W(t)=-\frac{N}{R_{0}^2C}(\delta W(t)+\delta W(t-R_0))-\frac{R_0C^2}{2N^2}\delta p(t-R_0)$$
$\delta \dot q(t)=\frac{N}{R_0}\delta W(t)-\frac{1}{R_0}\delta q(t)\tag{5}$
 对上述两个方程拉普拉斯变换，即是[1]中的Fig2.
 当 $W(t)=W(t-R(t))$,即是[1]中的Fig3.
 [2]中模型基本不变，但是考虑了q对窗口的影响，即q为时间的函数，就是 $\delta \dot W(t)$与 $\delta W(t)，\delta q(t)，\delta p(t-R_0)$相关，可以参看其文中的方程4。
[1] Hollot C V, Misra V, Towsley D, et al. A control theoretic analysis of RED[C]//INFOCOM 2001. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies. Proceedings. IEEE. IEEE, 2001, 3: 1510-1519.
[2] Hollot C V, Misra V, Towsley D, et al. Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows[J]. IEEE Transactions on automatic control, 2002, 47(6): 945-959.
[3] Misra V, Gong W B, Towsley D. Fluid-based analysis of a network of AQM routers supporting TCP flows with an application to RED[C]//ACM SIGCOMM Computer Communication Review. ACM, 2000, 30(4): 151-160.
[4] TCP Fluid Model