机器学习中的数学（2）：均数

生活中常见的均值为算术平均值（或平均数）：将所有的数字加起来，然后除以数字的个数。

注：μ表示平均数，∑x表示数字的和，n表示数字个数

或使用频数计算算术平均值

注：∑f表示频数和，∑fx表示频数与数字的乘积和

生活中常遇到新闻上说当前某个城市的平均房价，平均工资。特别是平均工资特别让我们气愤，总感觉自己在拖国家后腿。其实我们是被平均了

姓名	收入(月)
张三	8000
王二	8000
李四	10000
张五	8000
陈六	5000
刘七	5000
马云	60000000
马化腾	50000000

如果按照算术平均数进行计算，上面个八个人的平均月收入是13755687.5，不难看出平均月收入远低于平均收入。相对普通人的月收入，二马的收入被称为异常值。异常数据的存在经常导致的问题是数据倾斜。

当数据向右倾斜时，平均值大于大部分数字；当数据向左倾斜时，平均值小于大部分数字。

注：除上述图形的形式观察数据倾斜情况外，在数据统计过程中，我们常用方差，标准差等观察数据分布情况，这些在之后会说到

当偏斜数据和异常值使平均值产生误导时，我们需要用其他方式表示典型值，例如中间值，即中位数。首先我们把需要的值按照升序或者降序进行排列，取一列数中的中间的数字，如果该列数据为偶数，则取中间两个数的算术平均数。例如上面的月收入数据中间数为（8000，8000），取平均值得中位数为8000。中位数的主要特点就是不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

相比与平均数，如果数据未出现倾斜，中位数等于平均数；如果数据向右倾斜，则中位数小于平均数；反之则大于。

相比于老外，中国人都是无神论者，从古至今都是敢与天搏和地斗，用毛泽东的话说：“敢叫日月换新颜”。但是有些人就是命好，赶上拆迁了，个人资产瞬间提升。利于郑州的一个城中村的家庭存款情况汇总如下：

家庭存款(万)	10	20	30	3000	3500	5000
户数	2	5	3	3	5	2

不难算出上述表格中家庭存款平均数与中位数相等均为1515万。但是中位数与平均数都不能体现该村家庭存款的真实情况，这时我们需要另一个平均数——众数。

众数是数据集中出现频率最高的数值，与平均数与中位数不一样的是，众数是数据集中的一个数值，且该数值在数据集中频繁出现。有时，数据的众数可以不止一个。如果有一个以上的数值具有最大频数，则每一个这样的数值都是众数。如果数据看上去体现了多趋势或多批数据，那么我们就为每一批数据给出一个众数。如果一批数据有两个众数，则被称为双峰数据。

众数不仅能用于数值型数据，还能用于类别数据，众数是唯一能用于类别数据平均数。具有最高频数的组被称为众数组。

统计中常用的统计方法：观察法、金氏插入法、皮尔逊经验法

1、观察法：若数据已归类，则出现频数最多的数据即为众数；若数据已分组，则频数最多的那一组的组中值即为众数。用观察法求得的众数，一般是粗略众数。

2、金氏插入法：计算公式如下或 

式中L 表示众数所在组的精确下限，U 表示众数所在组的精确上限，fa 为与众数组下限相邻的频数，fb为与众数组上限相邻的频数， i 为组距。

3、皮尔逊经验法：计算公式

式中ξ 为样本均值， Md 为中数，用皮尔逊公司计算所得众数近似于理论众数，常称为皮尔逊近似众数。众数是皮尔逊（Pearson,K.）最先提出并在生物统计学中使用的，以上是数据出自于离散型随机变量时求众数的方法，对于连续型随机变量ξ ，若概率密度函数为 f ，且 f 恰有一个最大值，则此最大值称为ξ 的众数，有时也把 f 的极大值称为众数； f 有两个以上极大值时，亦称复众数。

注：该文中部分内容参考了《深入浅出统计学》，百度百科