记录一个钥匙环问题

该题收录在国外的离散数学教科书中，问题是这样的：

有6把钥匙，放在一个钥匙环上，环的两面都是相同的。没有办法判断哪个是第一把钥匙，问：到底有几种放钥匙的方法？

英文原题:

(

29.How many ways can 6 keys be placed on a circular key ring? Both sides of the ring are the same,and there is no way to tell which is the "first" key on the ring.

Answer:60.

)

思路：6把钥匙，第一个位置有6中可能，第二个有5中，所以应该是6！=720种。但答案是60种。答案是6!/6/2种，如果把题改成7把钥匙，答案就是7!/7/2。

答案是怎么组织的？

如果有3把，abc,bca,cab都是同一种。（可以拿个钥匙试试）。

如果有4把，abcd,bcda,cdab,dabc都是同一种。

...

那么去掉重复的，就是/6。

而这1种是重复的，要/2。

例如：

            b

a                     d

            c

和

             b

d                         a

               c

。为什么呢？第一个按照顺时针读：abdc.第二个按照逆时针读：abdc。

在钥匙环上是可以实现的。只要把钥匙环平方在桌子上，然后翻过来就好了。

这种同样是没有取下来钥匙的，算重复的。

 

读者可以自行了解更多有关内容 ，术语是：circular permutation。

百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%8E%92%E5%88%97/3081193?fr=aladdin

国外的：http://www.jimahoffman.com/MathA30/Permutations/pdfs/PERM5A301%20Anskey.pdf