矩阵快速幂--模板

本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定数列问题的方法,通过构建矩阵和实现快速幂运算,有效解决了数列求值的问题。适用于ACM编程竞赛中复杂数列的快速求解。

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http://acm.bit.edu.cn/mod/programming/view.php?id=670


The Little Architect II


#include<stdio.h>
#include<string.h>

//dp方程:f[n]=3*f[n-1]+3*f[n-2]-f[n-3];
//矩阵快速幂  。。  模板
//构造矩阵
// 3 1 0
// 3 0 1
//-1 0 0
struct node
{
	long long a[3][3];
};

long long n,p;
node cheng(node A,node B)
{
	node C;
	memset(C.a,0,sizeof(C.a));
	int i,j,k;
	for(i=0;i<3;i++)
		for(j=0;j<3;j++){
			for(k=0;k<3;k++)
				C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];
			C.a[i][j]%=p;
		}
	return C;
}

int main()
{
	int i,j,k;
	node I,T;
	
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&p))
	{
		long long b[3]={2,9,32};
		for(i=0;i<3;i++)
			for(j=0;j<3;j++)
				if(i==j) I.a[i][j]=1;
				else I.a[i][j]=0;
		memset(T.a,0,sizeof(T.a));
		T.a[0][0]=3,T.a[1][0]=3,T.a[2][0]=-1;
		T.a[0][1]=1,T.a[1][2]=1;
		if(n<=3)
			printf("%lld\n",b[n-1]%p);
		else
		{
			n-=3;
			while(n>0)
			{
				if(n&1==1) I=cheng(I,T);
				n>>=1;
				T=cheng(T,T);
			}
			long long ans=(b[2]*I.a[0][0]+b[1]*I.a[1][0]+b[0]*I.a[2][0])%p;
			if(ans<0) ans+=p;
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
}





### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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