poj 1061 青蛙的约会

<span style="font-size:12px;">这是一道数论的问题。主要用到欧几里德算法的扩展，下面是欧几里德算法拓展的应用中的三条定理</span>

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

题意是：有两个青蛙要约会见面，它们在同一条纬度上，它们跳一次所用的时间也是相同的我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是B走的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*L；则：(x+mt)-(y+nt)=kl;变形得：(m-n)t-(y-x)=kL;即有(m-n)t mod L=y-x;为线性同余方程。此方程有解当且仅当y-x能被m-n和L的最大公约数(记为gcd(m-n,L)),即gcd(m-n,L)|y-x。这时，如果x0是方程的一个解，即当t=x0时，(m-n)t mod L=y-x成立，那么所有的解可以表示为：
{x0+k(L/gcd(m-n,L))|(k∈整数)}。

下面是欧几里得的模板

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
       x = 1;
       y = 0;
       return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
    return r;
}

 

 

 

 

 

 

 

本题的代码

#include<stdio.h>
__int64 exgcd(__int64 a, __int64 b,  __int64 &x,  __int64 &y)
{
	__int64 r, t;
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	r=exgcd(b,a%b,x,y);
	t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return r;
}
int main()
{
	__int64 x,y,m,n,l,xx,yy,d,r;
	scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);
	d=exgcd(n-m,l,xx,yy);
	if((x-y)%d!=0)
		printf("Impossible\n");
	else
	{
		xx=xx*((x-y)/d);
		r=l/d;
		xx=(xx%r+r)%r;
		printf("%Id\n",xx);
	}
	return 0;
}