<9> 素数

我感觉素数这一块也是比较重要的，尤其是在密码学、网络安全、身份验证等这一块。素数（也叫质数）是我们在小学？或者初中吧···学到的一个数学名词，含义是“只能被1和本身整除”。因此，这个概念可以被用来判断一个数字是不是素数，或者打印素数。（并且我们知道小于2的数字，都不是素数）

#include <iostream>
#include <iso646.h>
#include <algorithm>
#include <functional>



// 素性测试
bool isPrimer(int number) {

	if ( number <2 )	return false;
	for (size_t i = 2; i < number; i++) {

		if (number % 2 == 0) {
			return false;
		}
	}

	return true;
}


int main() {

	int M;
	std::cin >> M;
	
	std::cout << std::boolalpha << isPrimer(M) << std::endl;
	std::cin.get();
}

我们继续来看：假设有一个数是a，那么a = pow(a,1/2) * pow(a,1/2);  如果a非素，那么一定有一个数字是小于pow(a,1/2)的，因此，只需要遍历到sqrt(a)即可。

#include <iostream>
#include <iso646.h>
#include <algorithm>
#include <functional>



// 素性测试
bool isPrimer(int number) {

	if ( number <2 )	return false;
	for (size_t i = 2; i < sqrt(number); i++) {

		if (number % 2 == 0) {
			return false;
		}
	}

	return true;
}


int main() {

	int M;
	std::cin >> M;
	
	std::cout << std::boolalpha << isPrimer(M) << std::endl;
	std::cin.get();
}

你看这个就是素数的检测，但是我们还有其他的办法吗？有的，打表。看下边的动态图：

注意观察，他是从2开始，将2的倍数都标记为非素数，然后从3开始，将3的倍数都标记为非素数，然后从5开始，将5的倍数都标记为非素数···，规律就是，一开始的时候，将开辟的数组都预初始化为true，然后开始从2遍历，一直到n，在循环体内，然后再次通过循环，将基础素数的倍数都标记为false，那剩余的就是true，就是素数。

#include <iostream>
#include <iso646.h>
#include <algorithm>
#include <functional>



// 素数打表
void PrimerArray(int number) {

	if (number < 2) std::cout << "No Primer" << std::endl;

	bool *isPrimer = new bool[number];
	isPrimer[0] = isPrimer[1] = false;
	memset(isPrimer + 2, true, number);

	for (size_t i = 2; i < number; i++) {
		if (isPrimer) {
			for (size_t ii = i + i; ii < number; ii += i) {
				isPrimer[ii] = false;
			}
		}
	}

	for (size_t i = 0; i < number; i++) {
		if (isPrimer[i]) {
			std::cout << i << std::endl;
		}
	}
}

// 素数判断
bool isPrimer(int number) {

	if (number < 2) std::cout << "No Primer" << std::endl;

	bool *isPrimer = new bool[number];
	isPrimer[0] = isPrimer[1] = false;
	memset(isPrimer + 2, true, number);

	for (size_t i = 2; i < number; i++) {
		if (isPrimer) {
			for (size_t ii = i + i; ii < number; ii += i) {
				isPrimer[ii] = false;
			}
		}
	}

	return isPrimer[number];
}


int main() {

	int M;
	std::cin >> M;
	
	// 素数打表
	PrimerArray(M);
	
	// 素性测试
	isPrimer(M);
	
	std::cin.get();
}

但是你看，依然有优化的空间，原理和之前的一样。

#include <iostream>
#include <iso646.h>
#include <algorithm>
#include <functional>



// 素数打表
void PrimerArray(int number) {

	if (number < 2) std::cout << "No Primer" << std::endl;

	bool *isPrimer = new bool[number];
	isPrimer[0] = isPrimer[1] = false;
	memset(isPrimer + 2, true, number);

	for (size_t i = 2; i < sqrt(number); i++) {
		if (isPrimer) {
			for (size_t ii = i + i; ii < number; ii += i) {
				isPrimer[ii] = false;
			}
		}
	}

	for (size_t i = 0; i < number; i++) {
		if (isPrimer[i]) {
			std::cout << i << std::endl;
		}
	}
}

// 素数判断
bool isPrimer(int number) {

	if (number < 2) std::cout << "No Primer" << std::endl;

	bool *isPrimer = new bool[number];
	isPrimer[0] = isPrimer[1] = false;
	memset(isPrimer + 2, true, number);

	for (size_t i = 2; i < sqrt(number); i++) {
		if (isPrimer) {
			for (size_t ii = i + i; ii < number; ii += i) {
				isPrimer[ii] = false;
			}
		}
	}

	return isPrimer[number];
}


int main() {

	int M;
	std::cin >> M;
	
	// 素数打表
	PrimerArray(M);
	
	// 素性测试
	isPrimer(M);
	
	std::cin.get();
}

现在来看，“埃拉托斯特尼筛法”就完成了，但是还是有优化的空间，随后我再继续优化。素数在日常中其实用处也是很广泛的，我们需要注意观察一些数学知识在生活中的应用，多交流与学习，善于观察细节、才能学到更多的有用的知识了。

这个是我的关于素数（http://blog.youkuaiyun.com/u010202481/article/details/78063861）的其他的内容，大家可以相互探讨，不吝赐教。