1.4 子群和陪集

§4 子群和陪集

为了讨论群的问题，下面我们引入子群和陪集的概念：

定义1.4.1（子群）

若群 $G$ 的非空子集合 $H$ 对于 $G$ 的运算也成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群。

定义1.4.2（平凡/非平凡子群）

在群 $G$ 中仅由单位元素 $e$ 组成的子集合 { e } \{ e\} {e} 和群 $G$ 本身被称为 $G$ 的平凡子群。其余的子群被称为非平凡子群。
$H$ 是 $G$ 的子群可记为 $“H<G”$ 。

定理1.4.1

群 $G$ 的非空子集合 $H$ 是一子群的充要条件是：由 $a,b\in H$ 推得 $a{b}^{-1}\in H$。

证明
必要性显然，下证充分性：
因为 $H$ 为非空集合，故至少含有一个元素，记为 $a$ 。由 $a,a\in H$：
$$a{a}^{-1}=e\in H.$$
由 $e,a\in H$ 得： $e{a}^{-1}=a^{-1}\in H$。 由 $a,b\in H$ 得：$b^{-1}\in H$。从而有：
$$a(b^{-1}{)}^{-1}=ab\in H.$$
即证得 $H$ 为 $G$ 的一个子群。$■$

显然：任意多个子群的交仍为一个子群。下面定义陪集的概念：
定义1.4.3（陪集）

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。对于 $G$ 中任一元素 $a$，称
{ a h ∣ h ∈ H } \{ah | h\in H \} {ah∣h∈H}
为 $G$ 的一个左陪集，记为 $aH$ 。因为 $H$ 中有单位元素，故 $a\in aH$。
同样地可以定义右陪集的概念。

显然，$h\mapsto ah$ 是子群 $H$ 到右陪集 $aH$ 的一个双射。同样， $h\mapsto ha$ 是子群 $H$ 到左陪集 $Ha$ 的一个双射。因此，可以立即得知：每个左（右）陪集与 $H$ 有着一样多的元素！

定理1.4.2

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。 $H$ 的任意两个左（右）陪集或相等，或无公共元素。 群 $G$ 可表示为若干个不相交的左（右）陪集的并。

证明
不妨设 $aH,bH$ 为两个左陪集，并假设它们有公共元素 $h_1,h_2\in H$， 使得$$a{h}_1=b{h}_2$$ 故 $a=b{h}_2{h}_1^{-1}=b{h}^3$，其中 $h_3\in H$。由于
$$ah=b{h}_{3}h\in bH$$
可知 $ah\subset bH$，同理可得 $bH\subset aH$，即：
$$aH=bH$$
因为 $a\in aH$，故
$$G=\bigcup _{a\in G}aH.$$
去除其中所有重复的陪集即得到
$$G=\bigcup _{\alpha }{a}_{\alpha }H.$$
其中当 $\alpha \ne \beta$ 时，有 $a_{\alpha }H\cap a_{\beta }H=\varnothing .$
故原命题证毕。$■$

推论1.4.1（Lagrange定理）

设 $G$ 为一有限群， $H$ 是它的一个子群。则 $|H|$ 整除 $|G|$。

证明

设 $|G|=n，|H|=t$。由定理1.2.2：
$$G=a_{1}H\cup \cdots \cup a_r{H}_r$$
其中出现的陪集两两不相交。因为 $|a_{i}H|=|H|=t$ ，故$n=rt$。$■$

定义1.4.4（陪集代表）

元素 $a$ 称为左陪集 $aH$ 的一个陪集代表（同理可定义右陪集的）。陪集中任意元素都可以取作这一陪集的代表。

在群 $G$ 中，任意一个元素 $a$ 的全体方幂
{ a m , m ∈ Z } \{ a^{m}, m \in \mathbb{Z} \} {am,m∈Z}
显然成一子群。称其为由 $a$ 生成的子群。显见：元素 $a$ 的方幂或两两全不同，或存在一正整数 $l$ ，使得 $a^l=e$ 。

定义1.4.5（元素的阶）

对于后一种情形：一定存在某个最小的正整数 $d$ ，使得$$a^d=e$$于是 $a,a^2,\cdots ,a^d$ 就是 $a$ 全部不同的方幂。称元素 $a$ 生成的子群的阶为元素 $a$ 的阶。

由Lagrange定理可得：

推论1.4.2

设 $G$ 为一个有限群。 $G$ 中每个元素的阶必整除 $|G|$ 。令 $|G|=n$ ，对于 $G$ 中每个元素 $a$ 均有：
$$a^n=e$$

证明

由Lagrange定理：推论前半部分显然。设元素 $a$ 的阶为 $d$ 。则有 $n=d{n}_1$，故
$$a^n=a^{d{n}_1}=(a^d{)}^{n1}=e^{n1}=e.■$$