漫步微积分十一——三角函数求导

目前为止，我们求导的最基本函数是幂函数$x^n$：

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

所有其他的函数可以通过加，减，乘，除和形成函数的函数构建出来。我们的通用规则可以找出这些组合的导数。现在我们学习如何对基本的三角函数$\sin x,\cos x$求导，从而扩展基本初等代数的工具包：

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sin x\ &=\ \cos x\tag 1\\ \frac{d}{dx}\cos x\ &=\ -\sin x\tag2 \end{align}$$

为了得到这些公式，我们回到函数$f(x)$导数的定义，

$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

我们将定义应用到函数$f(x)=\sin x$，那么

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sin x &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\notag \\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}\tag3 \end{align}$$
对(3)进行重组得
$$\begin{align} \frac{d}{dx}\sin x &=\lim_{\Delta \to 0}\left[\cos x\left(\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right)-\sin x\left(\frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\right)\right]\notag \\ &=\cos x\left[\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right]-\sin x\left[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\right]\tag4 \end{align}$$

上面$\sin x,\cos x$的极限运算是常数，用$\theta$代替$\Delta x$，就之前经过的极限一样

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1\quad \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-\cos\Delta x}{\Delta x}=0$$

利用这个事实，(4)可以写为

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\sin x &=&\cos x\cdot 1-\sin x\cdot 0\\ &=&\cos x \end{eqnarray*}$$

也就是(1)式。

对(2)的证明跟它类似

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\cos x &=&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\ &=&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin Delta x-\cos x}{\Delta x}\\ &=&\lim_{\Delta x\to 0}\left[-\sin x\left(\frac{\Delta x}{\Delta x}\right)-\cos x\left(\frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\right)\right]\\ &=&-\sin x\left[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right]-\cos x\left[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x}\right] \\ &=&-\sin x\cdot 1-\cos x\cdot 0=-\sin x. \end{eqnarray*}$$

这就证明了(2)。

将(1)、(2)和链式法则结合起来，就得到我们这部分最主要的工具了

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}\sin u=\cos u\frac{du}{dx}\tag5 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}\cos u=-\sin u\frac{du}{dx}\tag6 \end{equation}$$

其中$u=u(x)$可以看做任何对$x$可导的函数。

例1：$y=\sin(5+4x^3)$，求$dy/dx$。这里$u=5+4x^3$，利用(5)得

$$\frac{dy}{dx}=\cos(5+4x^3)\frac{d}{dx}(5+4x^3)=12x^2\cos(5+4x^3)$$

例2：$y=\cos(\sin x)$，求$dy/dx$。这里$u=\sin x$，利用(6)(1)得

$$\frac{dy}{dx}=-\sin(\sin x)\frac{d}{dx}(\sin x)=-\cos x\cdot \sin(sin x)$$

例3：$y=\sin[(1-x^2)/(1+x^2)]$，求$dy/dx$。这里$u=(1-x^2)/(1+x^2)$，利用(5)和除法法则得

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&\cos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\\ &=&\cos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\frac{(1+x^2)(-2x)-(1-x^2)2x}{(1+x^2)^2}\\ &=&\frac{-4x}{(1+x^2)^2}\cos\frac{1-x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$$

例4：$y=\cos(1+\sin 5x)$，求$dy/dx$。 这里$u=1+\sin 5x$，其中$du/dx$还需要用一次链式法则

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&-\sin(1+\sin 5x)\frac{(1+\sin 5x)}{dx}\\ &=&-\sin(1+\sin 5x)\cdot \cos 5x\cdot \frac{d}{dx}(5x)\\ &=&-5\cos 5x\cdot \cdot \sin(1+\sin 5x) \end{eqnarray*}$$

这些例子中，链式法则应用到了更广的范围，并不仅仅局限于之前所讲的。

我们需要提醒读者三角函数幂形式的标准符号：通常$\sin^{n}x$表示$(\sin x)^n$。但是$(\sin x)^{-1}$可不能写成$\sin^{-1}x$。因为后者表示反函数。

例5：$y=\cos^57x^2$，求$dy/dx$。 这里令$w=\sin 7x^2$，那么$y=w^5$

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=&5w^4\frac{dw}{dx}=5w^4\cdot \cos 7x^2\cdot \frac{d}{dx}(7x^2)\\ &=&5w^4\cdot \cos 7x^2\cdot 14x\\ &=&70x\sin^47x^2\cdot \cos 7x^2 \end{eqnarray*}$$

之前的文章我们使用的是弧度而不是角度。现在我们解释这么做的原因。$\sin x^o,\cos x^o$表示$x$度角的正弦和余弦值。因为$x$度等于$\pi x/180$弧度，所以

$$\sin x^o=\sin \frac{\pi x}{180}$$

那么

$$\frac{d}{dx}\sin x^o=\cos \frac{\pi x}{180}\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{180}\right)=\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}$$

所以

$$\frac{d}{dx}\sin x^o=\frac{\pi}{180}\cos x^o$$

如果我们坚持用度做为角的单位，那么我们只得用上式，而无法使用更简单的(1)。因此，我们使用弧度从而避免计算过程中重复计算因子$\pi/180$

其他四种三角函数可以用$\sin x,\cos x$来表示，他们的导数可以根据定义来计算。他们的定义为

$$\begin{align} \tan x&=\frac{\sin x}{\cos x}\tag7\\ \cot x&=\frac{\cos x}{\sin x}\left(=\frac{1}{\tan x}\right)\notag\\ \sec x&=\frac{1}{\cos x}\notag\\ \csc x&=\frac{1}{\sin x}\notag \end{align}$$

他们分别是正切，余切，正割和余割函数。这些函数在后面的文章中会详细讨论，目前我们只关注正切以及它的导数

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\tag8 \end{equation}$$

为了得到这个式子，我们参考(7)并使用除法法则：

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\tan x &=&\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{\cos^2x}\\ &=&\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x \end{eqnarray*}$$

(8)的链式法则为

$$\begin{equation} \frac{d}{dx}\tan u=\sec^2u\frac{du}{dx}\tag9 \end{equation}$$

例6：$y=\tan^5(3x^2+1)$，求$dy/dx$。 这里令$w=\tan(3x^2+1)$，那么$y=w^5$，利用(9)得

$$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&5w^4\frac{dw}{dx}=5w^4\cdot \sec^2(3x^2+1)\cdot \frac{d}{dx}(3x^2+1)\\ &=&5w^4\cdot\sec^2(3x^2+1)\cdot 6x\\ &=&30x\cdot\tan^4(3x^2+1)\cdot \sec^2(3x^2+1). \end{eqnarray*}$$