完全背包

题目:有一个最大载重为W的背包，有n中物品，第i件物品的价值为value[i]，重量为weight[i]，其中每件物品的数量有限，第i件物品最多有num[i]件，求背包最多可以装载物品的价值之和。

  对比01背包的问题，完全背包和它的不同之处在于第i件物品的数量变为num[i]，而不是1件。我们不难想出把相同的物品看做不同的物品，转化后的物品只有1件，那么问题就变成了有num[1]+num[2]+…+num[n]件物品的01背包问题。
  但是，用这种算法我们能够感受到它的效率低，它的时间复杂度为$O(W* \sum_{i=1}^nnum[i])$，因为有个信息我们没有用到，那就是有相同种类的物品，它的数量num[i]，这意味这有num[i]件物品是相同的，而我们上面的算法却是把他们当做不同的物品看待。所以，为了利用这一信息，我们需要优化一下算法。
  我们首先得回顾一下正整数的表达方式。我们知道任意一个正整数可以用二进制的方式表示，比如6在二进制的形式下即为 110，因为6=1*2^2+1*2^1+0*2^0。
  那么我们假如现在有个物品有6件，单件物品的价值为2，重量为3，当我们把它转换成01背包问题时我们可以把该物品扩充为3种物品，每种物品只有一件：
  第一种为物品A，价值为2，重量为3；
  第二种为物品B，价值为4，重量为6；
  第三种为物品C，价值为8，重量为12；

我们现在只需要证明对于小于或等于6的数都可以用A/B/C的组合表示出来，而且ABC的系数只能为1或0。这和上面二进制表示数的问题是一样的，所以这个命题是正确的。

再回到原题，如果我们把物品分割成多重其他物品，那么就成功把算法的时间复杂度降为$O(W* \sum_{i=1}^nlog(num[i]))$，面对大量数据时，这是一个极大的提升。