算法学习（四）——完全背包、多重背包

算法学习（四）——完全背包、多重背包

完全背包

对于背包问题的初步认识，可以参考我的另一篇文章
算法学习（三）——01背包

题目类型

有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。第 $i$ 个物品的价值和体积分别是 $value[i]$ 和 $weight[i]$ 。每个物品能无限制的使用任意个。求解将哪些物品放进包里可以使价值最大。

题目类型

大体和01背包类似，唯一不同的地方是每种物品有无限个。此时每种物品的策略已经不再是要或者不要了，而变成了要0个，要1个，要2个……

状态表达式和状态转移方程

状态表达式方面和01背包是一样的，依旧用 $tab[i][j]$ 去表示前 $i$ 个物品恰好放入一个容量为 $j$ 的背包的最大价值。我们就可以很容易的按照原本的思路，写出状态转移方程：
tab[i][j] = max{ tab[i-1][j-k*weight[i]]+k*value[i] | 0<=k*c[i]<=v}

状态转移方程理解

看到上面的状态转移方程和往常一样，懵了，不过有了01背包的基础，我还是可以冷静下来分析分析这个状态转移方程的：

注意状态转移方程最后有一个 $0<=k\ast weight[i]<=v$ ，即物品重量要在背包重量范围内，当然，这是肯定的。
其实这个状态转移方程就是在01背包的基础上增加了一个变量 $k$ ，在写代码的时候加上 $k$ 其实就好了。
查了很多很多的教程，都没有对于完全背包的状态转移方程的详解，都是自己一点一点琢磨出来的。不过查教程的时候发现这个状态转移方程虽然是核心，但是使用的时候好像都是它的变形。