01背包+完全背包问题

  背包问题已经有很多写得很好的博客，这里的背包问题只是一个个人学习总结，希望能够把问题说得更明白清楚易懂。

贴下背包九讲问题的优秀博客网址：
  http://blog.youkuaiyun.com/pi9nc/article/details/8142876

PART1：01背包问题

题目：有N件物品，第i件物品的价值为value[i]，重量为weight[i]，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大，注意每件物品只可以装一次。

这里我们仍然以一个例子来看这个算法。
有一个能够承载10kg的小推车，商店中有如下物品：

序号	物品	重量(weight)	价值(value)
1	A	2	6
2	B	2	3
3	C	5	10
4	D	4	7
5	E	3	4

   那么我们现在研究一下，怎样才能让背包中物品的价值尽可能大。我们必须要有一个正确的思路，这是解题的关键。

设W[i][j]表示在背包可容纳重量j，只装序号不大于i的物品时，背包可装入物品的最大价值，value对应于各个物品的价值，weight对应于各个物品的重量。

算法DP公式：W[i][j] = max{如果装序号为i的物品，如果不装序号为i的物品}
      =max{W[i-1][j-weight[i]]+value[i] , W[i-1][j]}

算法很简单，也很容易理解，我们不难发现算法的时间复杂度为O(N*V)，空间消耗就是用了个二维数组。这里可以优化的地方就是我们不使用二维数组，使用一维数组来解决这个问题。

那么我们设一维数组为array[N]
算法：我们先对A物品分析，找出只装A物品的情况的array[N];
  再添加一个B物品进行分析，我们之前已经把A物品的所有的array值都算出来了，所以可以把包含A、B物品的array[N]算出来；
  同理直至到E物品，我们就算出来了结果为array[N]。

那么难点在哪里呢？难点在于每个物品最多只能装一个。

我们对只装A物品进行分析：

序号	物品	重量(weight)	价值(value)
1	A	2	6

 
    <—————————–我们需要将array数组初始化为零——————————>

背包可以承载的重量	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
可装入的物品的最大价值array[i]	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6

 
注意：我们这个表应该从10往1生成，只有这样才能保证A物品最多只装了1个，否则结果是多个，生成的错误的表如下：

背包可以承载的重量	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
可装入的物品的最大价值array[i]	0	6	6	12	12	18	18	24	24	30

 

注意到这一点就没有别的什么问题了，现在贴上这道题的c语言代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define N 5     //物品的件数
#define W 10    //背包可容纳的最大重量
#define max(a,b) (a>b?a:b)

int main()
{
    int i,j;
    int array[W+1];
    int weight[] = {2,2,5,4,3},
        value[] = {6,3,10,7,4};

    memset(array, 0, sizeof(array));

    for(i=0;i<N;i++){
        for(j=W;j>=weight[i];j--){
            array[j]=max(array[j],array[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    printf("%d\n",array[W]);
    return 0;
}

PART2：完全背包问题

题目：有N种物品，第i件物品的价值为value[i]，重量为weight[i]，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大，注意每种物品可重复装入。

如果看懂了我们上面的01背包问题，你会发现这个问题很简单，只需要我们对01背包的算法进行一丁点改变即可——就是上面说生成错误表的地方，我们就按照那种“错误”的方式生成即可得到完全背包的答案。代码该边就是在第二个循环的地方j从weight[i]到10算array数组。此处无庸赘述。