蓝桥杯算法训练---印章_蓝桥杯算法训练印章-优快云博客

印章

题目：共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

样例输入n和m：2 3

样例输出（保留四位小数：0.7500

数据规模和约定：1≤n，m≤20

解题思路：p = 1/n.

动规步骤：

dp定义：dp[i] [j] : i张印章凑齐j种印章数的概率。
递推公式：
- i < j : 不可能凑齐，dp[i] [j] = 0
- j = 1时（只需要凑齐一种即可，n种里面的随意一种：
  - i = 1时，dp[i] [j] = 1；
  - i > 1时，每个图案是dp[i] [j] = p ^ i; 有n种图案，则是p ^ i * n, 化简为p ^ (i - 1);
- 其他情况：
  - 有重复的：前面的i- 1张就已经凑齐了j种，第i张就是重复前面的印章，这个时候前面已经出现过的j种印章再次出现的时候，就是j * p，这个时候就是dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * (j/n) = dp[i-1] [j] *(j*p)
  - 无重复的：前面的i- 1张就已经凑齐了j - 1种，第i张就是新凑齐的一种，只需要乘以以前没有出现的印章出现的概率，剩下没出现的印章数是n - (j - 1)种，概率就是(n - j + 1) * p，这个时候dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1]*(n-(j-1))/n = dp[i-1] [j-1]*(n-j+1)*p

代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        //小心越界
        double[][] dp = new double[m + 1][n + 1];

        double p = 1.0 / n;
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                if(i < j){ //这样找不出来 概率为0
                    dp[i][j] = 0;
                }else if(j == 1){ //表示某一种印章出现了i次
                    dp[i][j] = Math.pow(p, i - 1);
                }else{ //包括重复的和不重复的
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (j * p) + dp[i - 1][j - 1] * ((n - j + 1) * p);
                }
            }
        }
        System.out.println(String.format("%.4f", dp[m][n]));
        //System.out.printf("%.4f", dp[m][n]);
    }
}