最小生成树_最小生成树的规则-优快云博客

最小生成树

构成生成树的准则有三条：
<1> 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树。
<2> 必须使用且仅使用n-1条边来连接网络中的n个顶点
<3> 不能使用产生回路的边。

普里姆（Prim）算法

以某顶点为起点，逐步找各各顶点上最小权值的边来构建最小生成树

1. 代码

void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j , k;
    int adjvex[MAXVEX];   //保存相关顶点下标
    int lowcost[MAXVEX];  //保存相关顶点间边的权值
    lowcost[0] = 0;       //v0作为最小生成树的根开始遍历，权值为0  凡是lowcost数组的值被设置为0则表示纳入最小生成树
    adjvex[0] = 0;        //v0第一个加入
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i]; //将邻接矩阵第0行所有权值先加入数组
        adjvex[i] = 0;            //初始化全部先为v0的下标
    }
    //真正构造最小生成树的过程
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY; //初始化最小权值为65535等不可能权值
        j = 1;
        k = 0;
        //遍历全部顶点
        while(j < G.numVertexes)
        {
            //找出lowcost数组已存储的最小权值
            if(lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];
                k = j; //将发现的最小权值的下标存入k 以便使用
            }
            j++;
        }
        //打印当前顶点边中权值最小的边
        printf("(%d, %d)", adjvex[k], k);
        lowcost[k] = 0; //将当前顶点的权值设置为0， 表示顶点已经完成任务，进行下一个顶点的遍历
        //邻接矩阵k行逐个遍历全部顶点
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            if(lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost) //lowcost[j] != 0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找
            {
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
}

2. 解析

简单描述

<1>　设一个有n个顶点的连通网络为G（V,E），最初先构造一个只有n个顶点，没有边的非连通图T={V,空}，图中每个顶点自成一格连通分量。
<2>　在Ｅ中选择一条具有最小权植的边时，若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到Ｔ中；否则，即这条边的两个顶点落到同一连通分量上，则将此边舍去（此后永不选用这条边），重新选择一条权植最小的边。
<3>　如此重复下去，直到所有顶点在同一连通分量上为止。

详解

普里姆算法详解

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

从边出发，直接去找最小权值的边来构建最小生成树，构建时要考虑是否会形成环路

1. 代码

typedef struct Edge
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;

int Find(int *parent, int f) //查找连线顶点的尾部下标
{
    while(parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}
//生成树
void MiniSpanTree_Kruskal(MGragh G)
{
    int i, n, m;
    Edge edges[MAXEDGE];
    int parent[MAXVEX]; //定义一维数组用来判断边与边是否形成回路
    //此处省略将邻接矩阵G转化为边集数组edges并由小到大排序的代码
    for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    {
        parent[i] = 0;
    }
    for(i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);
        n = Find(parent, edges[i].end);
        if(n != m) //不等 则表明没有形成回路
        {
            parent[n] = m; //将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中，表示此顶点已经在生成树集合里
            printf("(%d, %d) %d", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }
}

2. 解析

简单概述

①记Graph中有v个顶点，e个边
②新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
③将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
④环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中如果这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分添加这条边到图Graphnew中