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原创于 2015-11-03 16:44:22 发布 · 1.4k 阅读

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ACM Number Theary

ACM Number Theary

Euclid

求最大公约数

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long 
LL GCD(LL A,LL B)
{
    LL Temp;
    while(B)
    {
        Temp=A%B;
        A=B;
        B=Temp;
    }
    return A;
}

求解线性不定方程

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
//方程组形势 Ax+By=C
//已知A,B,C 求解 x,y
//先求出 Ax+By=gcd(A,B)的解
void Euclid(LL A,LL B,LL &D,LL &X,LL &Y)
{
    if(!B)
    {
        D=A;
        X=1;
        Y=0;
    }
    else 
    {
        Euclid(B,A%B,D,Y,X);
        Y-=X*(A/B);
    }
}
//如果C%D!=0,则方程无解
//C'=C/D,存在方程解为  A(C'x)+B(C'y)=C,X=C'x,Y=C'y
//B'=B/D,A'=A/D,则方程的通解为(X+K*B',Y-K*A'),K为任意整数

Quick Pow

**求解大数乘法(M*N)%MOD**

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL Muti(LL A,LL B,LL MOD)
{
    LL Ans=0;
    A=A%MOD;
    B=B%MOD;
    if(B<0)
    {
        A=-A;
        B=-B;
    }
    while(B)
    {
        if(B&1)
            Ans=(Ans+A)%MOD;
        B>>=1;
        A=(A+A)%MOD;
    }
    Ans=(Ans+MOD)%MOD;
    return Ans;
}

快速求解数的N次幂

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL Pow(LL A,LL B,LL MOD)
{
    LL Ans=1;
    A=A%MOD;
    B=B%(MOD-1);
    while(B)
    {
        if(B&1)
            Ans=Ans*A%MOD;  //如果这里太大的话需要使用Muti_Mod
            B=B>>1;
        A=A*A%MOD;  //如果这里太大的话需要使用Muti_Mod
    }
    return Ans;
}

快速求组合数

组合数取模

#include<iostream>
using namespace std;
//适用于M较小，N较大，MOD较小的情况下
LL Combine(LL N,LL M,LL MOD)
{
    if(M>N)
        return 0;
    LL Ans=1;
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        LL X=(i)%MOD;
        LL S=(N+1-i)%MOD;
        X=Pow(X,MOD-2,MOD); //仅当MOD为素数的时候，否则用扩展GCD
        Ans=Ans*S%MOD*X%MOD;    
    }
    return Ans;
}
LL Lucas(LL N,LL M,LL MOD)
{
    if(M==0)
        return 1;
    return Lucas(N/MOD,M/MOD,MOD)*Combine(N%MOD,M%MOD,MOD)%MOD;
}

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAX 100010
LL Inverse[MAX];
LL JieC[MAX];
LL GetInverse()
{
    LL Temp=1;
    JieC[0]=1;
    Inverse[0]=1;
    for(int i=1;i<MAX;i++)
    {
        Temp=Temp*i%MOD;
        JieC[i]=Temp;
        Inverse[i]=Pow(Temp,MOD-2,MOD);
    }
}
LL Combine(int N,int M)
{
    if(N<M)
        return 0;
    LL Ans=1;
    Ans=Ans*JieC[N]%MOD*Inverse[M]%MOD*Inverse[N-M]%MOD;
    return Ans;
}

模方程

求解逆元

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long 
LL GetInv(LL A,LL MOD)//适用GCD(A,MOD)=1的情况
{
    LL X,Y,D;
    Euclid(A,MOD,D,X,Y);
    if(D!=1)
        return -1;
    else 
        return (X%MOD+MOD)%MOD;
}

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL GetInv(LL A,LL MOD)//适用于MOD是素数的情况下
{
    LL Ans;
    Ans=Pow(A,MOD-2,MOD);
    return Ans;
}

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL Inv[MAX];
void GetInv(LL MOD)//O(n)求1~N的模N的逆元
{
    Inv[1]=1;
    for(int i=1;i<MOD;i++)
        Inv[i]=(MOD-MOD/i)*Inv[MOD%i]%MOD;
}

求解同余方程式

#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
bool Merge(LL LA,LL MA,LL LB,LL MB,LL &RL,LL &RM)
{
    LL Same=GCD(MA,MB);
    LL Dis=LB-LA;
    LL Ans;
    if(Dis%Same)
        return false;
    Dis=(Dis%MB+MB)%MB;
    MA/=Same;
    MB/=Same;
    Dis/=Same; 
    Ans=Dis*GetInv(MA,MB)%MB; 
    Ans=Ans*Same*MA;
    Ans+=LA;
    RM=MA*MB*Same;
    RL=(Ans%RM+RM)%RM;
    return true;
}
LL CRT(LL *L,LL *M,int N)
{
    LL RL=L[1];
    LL RM=M[1];
    LL TL;
    LL TM;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        TL=RL;
        TM=RM;
        if(!Merge(TL,TM,L[i],M[i],RL,RM))
            return -1;
    } 
    return (RL%RM+RM)%RM;
}

大数测试

Miller_Rabin大素数测试

#define Turn 80
bool Miller_Rabin(LL N)
{
    if(N==2||N==3||N==5||N==7||N==11)
        return true;
    if(N==1||!(N%2)||!(N%3)||!(N%7)||!(N%11))
        return false;
    LL Pre,X,U;
    int R=0;
    U=N-1;
    while(!(U&1))
    {
        R++;
        U>>=1;
    }
    srand(time(0));
    for(int i=1;i<=Turn;i++)
    {
        X=rand()%(N-2)+2;
        if(X%N==0)
            continue;
        X=Pow(X,U,N);
        Pre=X;
        int T=R;
        if(X!=1)
        {
            while(T>0)
            {
                if(X==(N-1))
                    break;
                X=Muti(X,X,N);
                T--;
            }
            if(T<=0)
                return false;
        }
    }
    return true;
}

大数因数分解

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using nameapace std;
LL Pollard_rho(LL N,LL C)
{ 
    LL Rycle=2;
    LL Time=1;
    LL X,Y;
    LL Same,Dis;
    X=rand()%N;
    Y=X;
    while(true)
    {
        Time++;
        X=(Muti(X,X,N)+C)%N;
        if(Y==X)
            return N;
        Dis=X>Y?(X-Y):(Y-X);
        Same=GCD(Dis,N);
        if(Same!=1&&Same!=N)
            return Same;
        if(Time==Rycle)
        {
            Y=X;
            Rycle*=2;
        }
    }
}
void Find(LL N)//注意要特判1
{
    if(Miller_Rabin(N))
    {
        Factor[Count++]=N;
        return ;
    }
    LL P=N;
    while(P>=N)
    {
        LL C=rand()%(N-1)+1;
        P=Pollard_rho(P,C);
    }
    Find(P);
    Find(N/P);
}

素数筛

诶氏筛法

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 1000000
int Prime[MAX];
bool IsPrime[MAX];
int Count;
void GetPrime()
{
    Count=1;
    for(int i=2;i<MAX;i++)
    {
        if(!IsPrime[i])
        {
            for(int j=i+i;j<MAX;j+=i)
                IsPrime[j]=true;
            Prime[Count++]=i;
        }
    }
}

欧拉筛法

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 1000000
int Prime[MAX];
bool IsPrime[MAX];
int Count;
void GetPrime()
{
    Count=1;
    for(int i=2;i<MAX;i++)
    {
        if(!IsPrime[i])
            Prime[Count++]=i;
        for(int j=1;j<Count&&Prime[j]*i<MAX;j++)
        {
            IsPrime[i*Prime[j]]=true;
            if(i%Prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}