1、前言——最大似然函数
在已知试验结果（即是样本）的情况下，用来估计满足这些样本分布的参数，把可能性最大的那个参数
作为真实
的参数估计。需要知道样本和样本服从的分布，但不知道
分布的参数，同时最大似然估计的前提条件就是要求样本之间是相互独立的。最大似然估计的思想：估计的最合理的参数应该是已经发生的这组样本同时发生的概率是最大，因此
最大似然法就是先建立似然函数（样本发生概率的连乘式），然后求这样函数的最大值（极值），对各个估计参数进行求偏导。这里有个小技巧对于有些似然函数很难求其最值，
观察到这个似然函数的结构，其实连乘式，故可以使用个log函数进行映射，变成连加式，而又不影响其极值点！
2、逻辑回归的概念及其分类
回归可以说是对数据进行拟合，最终得到一个判别函数，属于监督学习判别方法。Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。 还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。是一种分类方法，之所以叫回归是应为其算法的思路是借鉴回归。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。
这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同：
A、如果是连续的，就是多重线性回归；
B、如果是二项分布，就是Logistic回归；
C、如果是Poisson分布，就是Poisson回归；
D、如果是负二项分布，就是负二项回归。
3、LogisticRegression问题的常规步骤为：
- 寻找h函数（即hypothesis）：这是个映射函数，将样本发生的值转换为概率。一般选用的函数是sigmoid函数也称S函数
- 构造J函数（损失函数）：通过最大似然求出似然函数，求最大值
- 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）：利用梯度下降法求极值点（适用范围比较广无论是否可以求导），或者求偏导令为0。
4、逻辑回归（LogisticRegression）的数学理论及优化
4、1数学理论
Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），
所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示（引自维基百科）：
下面左图是一个线性的决策边界，右图是非线性的决策边界。
对于线性边界的情况，边界形式如下：
sigmoid函数映射：
假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是：
上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，
第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得
到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都
是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：
那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。
OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时
候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，
耗时耗力。
我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，
自己动手推推就知道了。注：有xi的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），
得到：
这时候，用L(θ)对θ求导，得到：
然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助
高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。 求偏导无法求解的时候，就需要梯度下降法展示身手了。
4.2、函数求优手段
1、梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学
习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样，要找最小值，我只需要每一步都往下走
（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：
但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某
个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。
对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：
其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加
徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，
自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回
到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，
虽然会落在最优的点，但是这速度如果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下
刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊！
梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
计算整个数据集的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
注：因为本文中是求解的Logit回归的代价函数是似然函数，需要最大化似然函数。所以我们要用的是梯度上升算
法。但因为其和梯度下降的原理是一样的，只是一个是找最大值，一个是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向，
最小值的方向就是梯度的负方向。不影响我们的说明，所以当时自己就忘了改过来了，谢谢评论下面@wxltt的指出。
另外，最大似然可以通过取负对数，转化为求最小值。代码里面的注释也是有误的，写的代码是梯度上升，注销成了
梯度下降，对大家造成的不便，希望大家海涵。
2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数
据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一
次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候
对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法
来说，我们需要把x和数据库A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需
要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集
的叫“批处理”。
随机梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用alpha xgradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
3、改进的随机梯度下降
评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度
是否快？
上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样
本，每个样本都对系数调整一次，所以共有200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50
次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭
代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非线
性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识
到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发
系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。
对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：
1）在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每
次迭代系数改变得太大，跳的跨度太大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎
没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项，具体见代码。
2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样
本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。
改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：
################################################
初始化回归系数为1
重复下面步骤直到收敛{
对随机遍历的数据集中的每个样本
随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值
计算该样本的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}
返回回归系数值
################################################
比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：
1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面
的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。
5、防非线性过拟合——正则化
对于逻辑回归同样也是需要考虑损失函数，特别是非线性函数，正则化可以减少函数边沿波动起伏。假如正则化之后的函数如下：
6、线性回归和逻辑回归的区别：
线性回归用于连续值的函数拟合，逻辑回归主要是应用在分类问题
7、逻辑回归的优点：
A、同样是作为分类器，逻辑回归相比SVM分类器的优点是，逻辑回归会给出每种类别的概率，这个信息是非常有用的，特别是在患病上的诊断很有用。而SVM直接给出0-1的结果，会让风险难以掌控。
B、逻辑回归扩展性好，对于再加入任意一个特征维度将很简单。
C、逻辑回归很容易得到每个特征维的重要性，谁轻谁重！
8、参考
1、http://www.mamicode.com/info-detail-501714.html
2、http://blog.youkuaiyun.com/pakko/article/details/37878837
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