强化学习笔记-02多臂老虎机问题

tostq

已于 2023-01-31 12:08:18 修改

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分类专栏：深度学习机器学习文章标签：算法深度学习人工智能强化学习

于 2023-01-29 19:02:29 首次发布

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本文是博主对《Reinforcement Learning- An introduction》的阅读笔记，不涉及内容的翻译，主要为个人的理解和思考。

1. 多臂老虎机问题

多臂老虎机问题是指存在K个老虎机，每个老虎机的获胜金额是一个未知的概率分布且相互独立，假设我们有N次参与机会，如何选择每次参与的老虎机才能使得累积获胜金额最大？

对于这个问题，我们首先可以知道，每次选择的老虎机应该是期望获胜金额最大的机器，即：

$A_t = arg max_a\ Q(a),\ Q(a) = E[R|a]$

$A_t$ 表示第t次选择的老虎机，Q(a)表示老虎机a的期望获胜金额，由于实际上我们只能根据历史数据进行估计，实际的形式为：

$A_t = arg max_a\ Q_t(a),\ Q_t(a) = E[R_t|a]$

所以对于多臂老虎机问题最本质的问题在于对Q(a)的预估，这同强化学习中的价值函数V(s)及Q(s,a)是类似的。Q(a)的计算相对是简单的，其表示的期望可以由历史获胜金额的均值来表示。

$Q_t(a) = \frac{R_1(a)+R_2(a)+... +R_{t-1}(a)}{n-1} \\ = \frac{1}{n-1}(R_{t-1}(a) + (n-2)Q_{t-1}(a)) \\ = Q_{t-1}(a) + \frac{1}{n-1}(R_{t-1}(a) - Q_{t-1}(a))$

上式中的R(a)表示每次选择老虎机a时的奖励，n表示总共选择a的次数， $Q_{t-1}(a)$ 表示前一次选择老虎机a时的奖励预估。上式代表了新Q(a)是通过旧Q(a)进行更新的。

但是由于参与次数是有限的，一方面我们需对每个老虎机a进行大量的参与，才能对Q(a)进行较精确估计，另一方面为了保证整体的收益，我们需要尽可能地参与Q(a)高的老虎机。前者类似于强化学习中的explore过程，后者类似于exploit过程，如何去平衡这两者

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