《算法导论》数论知识总结(二)

5.元素的幂
欧拉定理，对于任意Z*[n]中的a，有a^phi(n)（mod n） = a^|Z*[n]| （mod n） = 1(单位元)，由之前Z*[n]定义处定理可知
费马定理，对于素数p，a^(p-1) （mod p） = 1 因为|Z*[p]| = p - 1，0不在Z*[p]当中
求幂当然是化成平方的平方的形式比较快

6.RSA公钥加密系统
公钥P和私钥S实际上是一对互逆的过程 M = P(S(M)) 或 M = S(P(M))， 而且从P很难推出S，这种互逆不可互推的过程就是数论当中的原理，这两个等式也分别代表了公钥加密的两种场景，前者是强调任何人都可以看信息，但没有私钥，无法冒充那个拿着私钥的人来发信息，后者强调任何人都可以发，但没有私钥，你无法看到发给对应公钥之人的信息。
加密过程：随机选大素数p、q 一般512位。n = pq，可知phi[n] = |Z*[n]| = (p - 1)(q - 1) 这是因为 n^((p - 1)(q -1)) = 1，取最小与phi[n]互质的奇数e，求其对于Z*[phi[n]]的逆元d，其中(e, n)为公钥，(d, n)为私钥 两个过程分别为：
P(M) = (M^e) mod n
S(C) = (C^d) mod n
正确性：P(S(M)) = S(P(M)) = (M^(ed)) mod n = (M^(1 + k(p-1)(q -1))) mod n = M * (M^(p-1))^k(q - 1))
其中M^(p - 1) = 1(费马定理) 所以上面式子结果为M
在实际应用中，一般用一个其他比较快速加密手段加密正文，然后将密钥用RSA加密，可恨高程度的提高效率